专题 状压dp（状态压缩动态规划）（洛谷的P1896 [SCOI2005]互不侵犯 详解）

       简而言之，状态压缩就是用进制数（可以是二进制，三进制等等）表示状态，然后进行dp。

       例如，洛谷的P1896 [SCOI2005]互不侵犯：

             题目描述：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1896

                题意大致就是，在一个棋盘里放一定数量的国王，一个国王的周围没有国王，询问方案数。

              这是个简单的状压dp（真简单呐~）

 

       注：&运算法则，上下如果都是1，则为1.

              我们可以用1表示在棋盘的格点上表示有国王，0表示在棋盘的格点上没有国王。因为每个格点只有两种状态，所以我们可以用二进制数来表示每一行的状态。例如：

           

      假设这是第i行国王的摆放情况，我们可以用10（1*2^1+1*2^4）来表示这一行的状态. 不难知道，一共有2^n种状态，也就是（0~2^n-1）。

     我们可以先判断一行中的状态合不合法，若a&(a>>1)或者a&(a<<1)不为零，则此状态不合法。为什么呢？？

             见图

                

     不难看出如果一个国王左右相邻有国王，则a&(a>>1)或者a&(a<<1)不为零。

    这样我们就可以预处理行内的所有合法状态，然后直接用合法状态进行转移（优化时间复杂度）：

     

for(int i=0;i<=(1<

      横行判断完之后，判断纵行合不合法。不妨先判断上下两行合不合法（令上一行为a，本行为b）

             如果（a&b）不为零，则不合法。

            

        上下紧挨的有国王不合法。

 

 

        如果 （（a>>1）&b）不为零，则不合法。

      

              本行的左上有国王。

         同样，如果右上有国王，也不合法。

         

         条件判断完之后考虑状态转移：

         dp[i][j][k]  i表示安放的第几行，j表示第i行的状态，k表示已经安放的国王数。

	for(ll i=0;i<=n-1;i++)//枚举行数
      for(ll j=1;j<=cnt;j++)//预处理完了的每行的合法状态，枚举本行的合法状态
       for(ll k=0;k<=m;k++)//枚举已经安放的国王数
	   {
	   		for(ll l=1;l<=cnt;l++){ //枚举下一行
	   	 	  	if(合法){
	   	 	  		dp[i+1][l][k+（l行的国王数）]+=dp[i][j][k];//下一行以l为状态，k+（l行的国王数）的已经安放的国王的方案可以被本行以j为状态，k个国王所转移
			   }	   
		 }
	   } 

     最后输出dp[n][(可以以任意合法状态结尾)][m]就行了

    

for(ll i=1;i<=cnt;i++)
	 ans+=dp[n][i][m];
  printf("%lld",ans); 

     如需参考，详见全部代码：

   

#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
long long n,k,dp[10][1000][100],m,num[1000],cnt,zt[1000];
long long work(long long x){
	long long ans=0;
	while(x!=0){
	  if(x%2)  ans++;
	  x=x/2;
	}
	return ans;
}
long long judge(long long a){
	if(a&(a<<1)||a&(a>>1)) return 1;
	return 0;
}
long long work2(long long a,long long b){
	if(!(a&(b<<1))&&!(a&(b>>1))&&!(a&b)) return 0;
	return 1; 
}
int main(){
	long long ans=0;
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(long long i=1;i<=1000;i++)
	 num[i]=work(i);
	dp[0][1][0]=1;
	cnt=0;
    for(ll i=0;i<=(1<

 本题算是一个比较普通的状压吧，条件比较好想。

 以上算是个引子：（前方高能！）

  状压的动态规划： 一般的动态规划，也就是从整体中提取两三个关键的信息，依此划分阶段使问题不具备后效性及最优子结构的性质。但有时，保存的信息不足以进行决策的时候，许多元素都会直接影响到决策，都需要被考虑到。为每一个元素的状态都开一维数组来存储肯定是行不通的，于是就需要有一种便于操作的几下各个元素的状态，即进行状态压缩存储，也就有了状态压缩的动态规划（需细细品味！！！！！！！）。

 也有比较复杂的条件判断：例如洛谷P5005 中国象棋—摆上马（也不算是很复杂）

  此题还需要考虑（俗话说的）别马脚（由于好写但是很难说，所以直接撂下代码）

  

#include
#include
using namespace std;
const int p=1e9+7;
int dp[105][70][70],n;
int work(int x,int y){
	int w=1;
	int a=(1<<(n-1));
	while(w<=n){
		if(((y>>(w-1))&1)&&(!((y>>w)&1))&&(((x>>(w+1))&1))) return 1;
		if(((x>>(w-1))&1)&&(!((x>>w)&1))&&(((y>>(w+1))&1))) return 1;
		if(((y<<(w-1))&a)&&(!((y<>(w-1))&1)&&(!((y>>(w-1))&1))&&(((x>>(w))&1))) return 1;
		if(((x>>(w-1))&1)&&(!((y>>(w-1))&1))&&(((z>>(w))&1))) return 1;
		if(((z<<(w-1))&a)&&(!((y<<(w-1))&a))&&(((x<<(w))&a))) return 1;
		if(((x<<(w-1))&a)&&(!((y<<(w-1))&a))&&(((z<<(w))&a))) return 1;
		w++;
	}
	return 0;
}
int main(){
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	n=y;
	for(int i=0;i<=(1<

   当然这不是满分程序，由于题开的内存太小，所以要开滚动数组，但这么写代码好理解。

  类似的题还有很多，就不一 一列举了