【树形 dp】B001_LC_打家劫舍 III（后序遍历 + 讨论）

一、Problem

在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。

示例 1:
输入: [3,2,3,null,3,null,1]
     3
    / \
   2   3
    \   \ 
     3   1
输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 3 + 3 + 1 = 7.

示例 2:
输入: [3,4,5,1,3,null,1]
     3
    / \
   4   5
  / \   \ 
 1   3   1
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 4 + 5 = 9

二、Solution

方法一：dp

简单的树形 dp，根的选择取决于子节点的选择情况，故后序遍历更佳

• 定义状态：
  • l[0/1] 表示左节点选/不选；
  • r[0/1] 表示右节点选/不选；
• 思考初始化：
  • l[…] = r[…] = 0
• 思考状态转移方程：
  • f[0] = root.val + l[1] + r[1];，当前结点选的前提是：左节点和右节点都不能选
  • f[1] = max(l[0], l[1]) + max(r[0], r[1])，当前结点不选就没有前提（即前提是什么都行，只要最大的就可以）
• 思考输出：max(f[0], f[1])

class Solution {
    int[] dfs(TreeNode root) {
        if (root == null) return new int[]{0, 0};
        int l[] = dfs(root.left), r[] = dfs(root.right), f[] = new int[2];
        f[0] = root.val + l[1] + r[1];
        f[1] = Math.max(l[0], l[1]) + Math.max(r[0], r[1]);
        return f;
    }
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] ans=dfs(root);
        return Math.max(ans[0], ans[1]);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，
• 空间复杂度：$O(1)$，