「AHOI2013」 连通图 - 线段树分治+并查集

题目描述

给定一个连通的无向图和若干个小集合，每个小集合包含一些边。对于每个集合，你需要确定将集合中的边从原来的无向图中删除后该图是否保持连通。

一个图是连通的当且仅当任意两个不同的点之间存在一条路径连接他们。

输入格式

输入的第一行包含两个整数n和m(1<=n<=10000, 1<= m <= 100000)，表示无向图的点数和边数，每个点从1到n标号。

接下来的m行表示图的每条边，每行包含两个整数a和b——一条边连接的两个端点的标号。保证每对顶点最多被一条边连接。没有一条边连接两个相同的顶点。每条边按照输入的顺序标号为1到m。

接下来的一行包含一个整数k(1<=k<=100000)，表示需要测试的小集合的个数。接下来的k行每行描述一个小集合。每行的第一个数c(1<=c<=4)表示集合中边的个数，接下来有c个整数表示集合中边的标号，保证集合中的整数互不相同。

输出格式

输出k行，每行对应一个小集合的测试结果。

第i行包含“Connected”（没有引号），如果给定的图去掉对应的集合中的边仍然连通，否则应该包含一个“Disconnected”。

分析

对于第$i$个时间的询问，其中的每一条边可以看是在前面某次询问中有这条边之后一直没有询问这条边，设这条边为$x$，时间点为$j$。那么题目可以转化为一条边$x$在时间区间$[j,i-1]$存在，第$i$个时间点删除，在第$i$个时间点查询图的连通性。这明显是线段树分治的模型，直接套上就行了。同样用可撤销并查集去维护。

需要提一点的是，这里判断整个图是否连通可以用第一个节点的根的$size$判断，即判断$size[getf(1)]$是否等于$n$。

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N=100005;
const int M=400005;
struct Edge {int x,y,op;}e[M];
int cnt,n,m,num;
int tm[M],q[M];
int f[N],sz[N],top;
vector<int> v[M<<2];
struct Stack {int x,y;}st[N];
void reset(){for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i,sz[i]=1;}//初始化 
int getf(int x){while (x^f[x]) x=f[x];return x;}//找父亲 
bool Judge() {return sz[getf(1)]==n;}//判断是否连通 
void merge(int x,int y) {//合并两个集合 
	x=getf(x),y=getf(y);
	if (x==y) return;
	if (sz[x]>sz[y]) swap(x,y);
	f[x]=y;
	sz[y]+=sz[x];
	st[++top]=(Stack){x,y};
}
void undo(int k) {//撤销到k次合并操作 
	while (top>k) {
		int x=st[top].x,y=st[top].y;
		top--;
		f[x]=x;
		sz[y]-=sz[x];
	}
}
void Add(int p,int l,int r,int L,int R,int x) {
	if (L<=l&&r<=R) {//完全包含,直接丢进vector中 
		v[p].push_back(x);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (L<=mid) Add(p<<1,l,mid,L,R,x);
	if (R>mid) Add(p<<1|1,mid+1,r,L,R,x);
}
void Solve(int p,int l,int r) {
	int si=v[p].size(),tp=top;
	for (int i=0;i<si;i++) {//依次添加 
		int x=e[v[p][i]].x,y=e[v[p][i]].y;
		merge(x,y);
	}
	if (l==r) {//叶子节点,判断并输出 
		if (q[l]) puts(Judge()?"Connected":"Disconnected");
	} else {
		int mid=(l+r)>>1;
		Solve(p<<1,l,mid);
		Solve(p<<1|1,mid+1,r);
	}
	undo(tp);//撤销 
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		e[i]=(Edge){u,v};
		tm[i]=1;
	}
	scanf("%d",&num);
	for (int i=2;i<=num+1;i++) {
		int c;
		scanf("%d",&c);
		for (int j=1;j<=c;j++) {
			int x;
			scanf("%d",&x);//直接加入时间线段树中 
			Add(1,1,num+1,tm[x],i-1,x);
			tm[x]=i+1;
		}
		q[i]=1;
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
		if (tm[i]<=num+1)//对于没有结束时间的边特殊处理 
			Add(1,1,num+1,tm[i],num+1,i);
	reset();
	Solve(1,1,num+1);//递归直接输出答案 
	return 0;
}