吃不胖的卷卷
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条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

　　一、条件概率

　一个随机事件发生的概率是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量。但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.　

　　[例1] 设有一群共N人,其中M个女性,n1个是色盲患者. n1个色盲患者中女性占n2个. 如果A={从中任选一个是色盲},B ={从中任选一个是女性},此时,P(A)=\frac{n1}{N}P(B)=\frac{M}{N} .如果对选取规则A附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,B发生之后,A发生的概率(暂且记为P(A|B)) 自然是.P(A|B)=\frac{n2}{M}

　　[例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件A为“两次掷出同一面”,事件B为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件B已经发生的条件下事件A发生的概率.

　这里,样本空间{HH HT TH TT}.A={HH TT},B={HH HT TH}易知此属于古典概型问题.已知事件B已发生,有了这一信息,知道TT不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是B.B中共有3个元素,其中只HH有属于A.于是,在B发生的条件下,A发生的概率为

P(A|B)=\frac{1}{3}

　　对于例1,已知

P(A)=\frac{n1}{N} ，P(B)=\frac{M}{N}，P(A|B)=\frac{n2}{M}， P(AB)=\frac{n2}{N}

容易验证在发生B的条件下,发生A的概率

　　对于例2,已知

P(A)=\frac{1}{2} ，P(B)=\frac{3}{4}， P(AB)=\frac{1}{4}， P(A|B)=\frac{1}{3}

　　容易验证B发生的条件下,A发生的概率

　　对一般古典概型, 容易验证:只要P(B)>0,则在B发生的条件下,A 发生的概率,

     这个就是条件概率公式

　　

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