Mind control

组合

一道组合数学题，做得很蛋疼，仿佛回到了高中数竞的生活(qaq), 链接
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2303

解析

题目的意思很简单，把m个cake分给n个person, 每个person最多能拿一个cake, 然后这些person是有继承关系的，即这个人拿到蛋糕后，你能得到的信任是这个人以及它所有的子结点的值，求你能得到的值的期望。显然，当$m\ge n$时，由鸽巢原理知，最后一个peron至少能拿到一个cake，所以总的值为n，当$m<n$时呢？显然你也知道了，决定权都会在最后一个手上，因为这个person拿了cake，那么你就能得到他的所有子结点的值。那么我们只要关注cake分到的最后一个person就好了。
所有的方案数$C_n^m$，对于长度$i$, 我们指定第$i$个person拿一个cake，剩下的cake分给$i-1$个person即可，那么总的方案数为：
$$\sum _{i=m}^{n}i\cdot C_{i-1}^{m-1}$$答案为
$$ans=\frac{{\sum }_{i=m}^{n}i\cdot C_{i-1}^{m-1}}{C_n^m}$$这样貌似做出来，但突然发现$n,m\le 1000000$，这个数据范围，3秒也无能为力的，所以我们尝试对分子进行化简下
$$i\cdot C_{i-1}^{m-1}=\frac{i\cdot (i-1)!}{(m-1)!(i-m)!}=\frac{m\cdot i!}{m!(i-m)!}=m\cdot C_i^m$$有点眉目了，但好像还是不能做的样子(qaq)。所以还是得仔细研究下，显然这个组合数的取数是固定的，而总的数是在增加的，所以尝试研究下这里面有什么关系
$$C_{n+1}^k=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\frac{(n+1)\cdot n!}{(n+1-k)\cdot k!(n-k)!}=(1+\frac{k}{n+1-k})C_n^k$$然后移项下有
$$C_{n+1}^k-C_n^k=\frac{k}{n+1-k}{C}_n^k=C_n^{k-1}$$是不是看出什么猫腻了(hahaha)，我们将上述式子构造$n$个相加
$$C_1^k-C_0^k=C_0^{k-1}$$$$C_2^k-C_1^k=C_1^{k-1}$$$$⋮$$$$C_{n+1}^k-C_n^k=C_n^{k-1}$$可得$C_{n+1}^k={\sum }_{i=0}^n{C}_i^{k-1}$
那么只要预处理下阶乘答案就行了。(不知道为什么我交了还是超时，可能是输入输出太多了，所以该用Fast-IO就AC了)

AC代码

/*
 小学生一发的刷题之路;
 今天你刷题了吗？？？
 
*/

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI=acos(-1.0);
const int maxn=1e6+5;
const ll mod=1e9+7;
template<class T>
inline void read(T &ret){       //快速输入模版;
    ret=0;
    int f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        ret=ret*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    ret*=f;
}
template <class T>
inline void out(T ret){     //快速输出模版;
    if(ret>9)
    {
        out(ret/10);
    }
    putchar(ret%10+'0');
}

ll A[maxn],Amod[maxn];
ll poww(ll a,ll b){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1){
            ans*=base;
            ans%=mod;
        }
        b>>=1;
        base*=base;
        base%=mod;
    }
    return ans;
}

void init(){
    A[0]=1;
    Amod[0]=1;
    for(int i=1;i<=1e6+1;i++){
        A[i]=A[i-1]*i;
        A[i]%=mod;
        Amod[i]=poww(A[i],mod-2);
    }
}

int main(){
    init();
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        read(n);
        read(m);
        if(m>=n){
            out(n);
            puts("");
            continue;
        }else{
            ll num=((A[n]*Amod[m])%mod*A[n-m])%mod;
            ll ans=((A[n+1]*Amod[m+1])%mod*A[n-m])%mod;
            ans=(ans*m)%mod;
            ans=(ans*poww(num,mod-2))%mod;
            out(ans);
            puts("");
        }
    }
    return 0;
}

新的开始，每天都要快乐哈!