信号与系统（郑君里）——第二章（连续时间系统的时域分析）

2.1 引言

      连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述这类系统，也就是系统的输入输出之间通过他们时间函数及其对时间t的各阶导数的线性组合联系起来。

      输入与输出只用一个高阶的微分方程相联系，而且不研究内部其他信号的变化，这种描述系统的方法称为输入——输出法。

      此处的分析方法有很多，其中时域分析法不通过任何变换，直接求微分方程，这种方法直观，物理概念清楚，是学习各类变换域分析方法的基础。系统时域分析法包含两方面内容，一是微分方程的求解，另一是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统的输出响应。其中第一种方法在高等数学中有详细的解释，在这里主要是解释其物理含义，并建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。虽然卷积只能用于系统的零状态响应，但他的物理概念明确。。。。。。。。。。。主要的是卷积是时域和频域之间的纽带，通过它把变换域分析赋以清晰的物理概念。

2.2 微分方程的建立与求解

激励信号为e(t)，系统响应为r(t)。

由时域经典解法，方程式的完全解由两部分组成：齐次解与特解。

齐次解解法：

代入：

化简为：

特征根为：

所以微分方程的齐次解为：

其中常数A由初始条件决定。

如果有重根，即：

a1相应于重根部分有k项：

特解解法：特解rp(t)的函数形式与激励函数有关，将激励e(t)代入方程式，求特解方程的待定系数，即可给出特解。

完全解：

一般需要给出初始条件才能求解系数

因此可以求出常数A

a值构成的矩阵称为范德蒙德矩阵.

齐次解表示系统的自由响应，特征根表示系统的“固有频率”，特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关。

r(t) = rh(t) + rp(t)

2.3 起始点的跳变 从0-到0+

在系统分析中，把响应区间确定为激励信号e(t)加入之后系统状态变化区间，一般激励e(t)都是从 t = 0时刻加入，这样系统的响应区间定为0+<=t<无穷，系统如果在激励信号加入之前瞬间有一组状态：

这组状态被称为系统的起始状态（简称0-状态），他包含了为计算未来响应的全部“过去”信息，在激励信号e(t)加入之后，由于受激励的影响，这组状态从0-到0+时刻可能发生变化。而A的值是由响应区间内t = 0+时刻的一组状态决定的：

所以称这组状态为初始条件（简称0+状态，也称“导出的起始状态”）

可见用时域经典法求解系统响应时，为确定自由响应部分的常数A，还必须根据系统的0-状态和激励信号情况求出0+状态。

求解流程图：

2.4 零输入响应和零状态响应

由时域经典法求解系统的完全响应是把响应分成自由响应和强迫响应，为确定完全响应中的常数往往利用冲激函数匹配法，把给定的0-状态转换成0+状态以便求解，系统响应分解只是一种形式，另一种广泛应用的重要分解是零输入响应和零状态响应。

注（很重要）：对于外加激励信号e(t)和他对应的响应 rzs(t) = H[e(t)]的关系而言，若系统的起始状态为零，{xi(0-)} = 0,则用常系数线性微分方程描述的系统是线性对的和时不变的。如果起始状态{x1(0-)}不为0，由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应对外加激励e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统。同时由于零输入分量存在，使响应的变化不可能只发生在激励变化之后，因而系统也是非因果的。这样可以说用常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。

零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻储能）所产生的响应，如图中H[{x(0-)}]项，记做rzi(t)

满足方程：

有起始状态

可见它是齐次解中的一部分、

由于没有外部的激励作用，因而系统的状态不会发生变化，即r(k)(0+) =r(k)(0-)，所以rzi(t)中的常数Azik可以由r(k)(0-)确定。 

零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于0），由系统外加激励信号所产生的响应，如图中的H[e(t)]项，并记做rzs(t)。

起始状态r(k)(0-) = 0;

形式为：

综上，可分析出系统响应的表达式

2.5 冲激响应与阶跃响应

冲激响应h(t)的性质可以表示系统的因果性和稳定性，h(t)的变换域表示更是分析线性时不变系统的重要手段，因而对冲激响应h(t)的分析是系统分析中极为重要的问题。

冲激响应h(t)的定义为：在单位冲激信号的激励下产生的零状态响应。

任意信号可以用冲激信号的组合表示

这就是卷积积分。。。卷积是极为重要的。。。

冲激信号与阶跃信号有关系，因此冲激响应和阶跃响应也是有关系的。。。

2.6 卷积

定义：

2.7 卷积的性质

（一）卷积代数

（1）交换律

证明：

（2）分配律

（3）结合律

证明：

（二）卷积的微分与积分

微分：

证明：

积分：

证明：

、

类似有一些运算规律

（三）与冲激函数或阶跃函数的卷积

也有：

推广到一般情况：