贪心算法——国王游戏(洛谷P1080)

1、题目描述

题目描述
恰逢 H 国国庆，国王邀请 n 位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这 n 位大臣排成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右手上的数，然后向下取整得到的结果。

国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。

输入格式
第一行包含一个整数 n，表示大臣的人数。

第二行包含两个整数 a和 b，之间用一个空格隔开，分别表示国王左手和右手上的整数。

接下来 n 行，每行包含两个整数 a 和 b，之间用一个空格隔开，分别表示每个大臣左手和右手上的整数。

输出格式
一个整数，表示重新排列后的队伍中获奖赏最多的大臣所获得的金币数。

输入输出样例
输入 #1 复制
3
1 1
2 3
7 4
4 6
输出 #1 复制
2
说明/提示
【输入输出样例说明】

按 1、2、3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2；

按 1、3、2 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2；

按 2、1、3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2；

按 2、3、1这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 9；

按 3、1、2这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 2；

按 3、2、1 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 9。

因此，奖赏最多的大臣最少获得 2个金币，答案输出 2。

【数据范围】

对于 20%的数据，有 1≤ n≤ 10,0 < a,b < 8；

对于 40%的数据，有 1≤ n≤20,0 < a,b < 8；

对于 60%的数据，有 1≤ n≤10；

对于 60%的数据，保证答案不超过 10^9；

对于 100%的数据，有 1 ≤ n ≤1,000,0 < a,b < 10000。

NOIP 2012 提高组 第一天 第二题

2、问题分析

先利用数学思想进行建模,把问题的一般化形式表示出来，再根据一般化的形式进行分析，从而解析整体化的问题。

设第i个大臣的收益为ci,左手金额为ai,右手金额为bi,第j个大臣的收益为cj,左手金额外aj,右手金额为bj,第i个大臣前i-1个人(包括第1个固定的国王和前i-2个大臣)的金额之和为x。

                      左手金额       右手金额       
   前i-1个人              x            /
   第i个大臣              ai           bi
   第j个大臣              aj           bj

根据题目的要求,有ci = x/bi, cj = x*ai/bj

此时两位大臣的中的较大收益记为C1, 则 C1 = max{ x/bi, x*ai/bj}

因为我们是要研究排列的方式对整体最大收益的影响，因而改变第i个大臣和第j个大臣的排列

                      左手金额       右手金额       
   前i-1个人              x            /
   第j个大臣              aj           bj
   第i个大臣              ai           bi

根据题目的要求,有ci = x*aj/bi,cj = x/bj

此时两位大臣的中的较大收益记为C2,则C2=max{x*aj/bi, x/bj}

(1)、设C1为C1,C2中的较小者,则有C1<=C2,

即 max{x/bi, x* ai/bj} <= max{x*aj/bi,x/bj}

因为x,ai,bi,aj,bj均为大于0的正整数,

x/bi <= x* aj/ bi , x*ai/bj>=x/bj

设k1 = x/bi,k2 = x* ai/bj,k3 = x* aj/bi,k4 = x/bj

则k1<=k3,k2>=k4

为使得max{k1,k2}<=max{k3,k4},则有k2<=k3

即x* ai/bj<=x*aj/bi,整理得ai * bi<=aj * bj

(2)、设C2为C1,C2中的较小者,则有C1>=C2,

即 max{x/bi, x* ai/bj} >= max{x*aj/bi,x/bj}

因为x,ai,bi,aj,bj均为大于0的正整数,

x/bi <= x* aj/ bi , x*ai/bj>=x/bj

设k1 = x/bi,k2 = x* ai/bj,k3 = x* aj/bi,k4 = x/bj

则k1<=k3,k2>=k4

为使得max{k1,k2}>=max{k3,k4},则有k3<=k2

即x* aj/bi<=x*ai/bj,整理得aj * bj<=ai * bi

综上所述,为使大臣中获得较大收益者的收益较小,则对于任意相邻的两个大臣i和j,均满足关系式ai * bi<=aj * bj，即按左右手金额数目乘积排序即可。

(但进行乘法运算的时候请注意,若乘积过程中数值超过了正常数据的表示范围,请采用高精度算法编写程序)

3、算法源码

#include
#define ll long long
using namespace std;
int n;
int len = 1;//表示高精度数据的长度
int sum[100001] = {0,1};//高精度数据计算结果 
struct minister{
	ll left;
	ll right;
} m[1000001];
bool cmp(minister a,minister b){
	return a.left * a.right < b.left * b.right;
}
void multiplicative(ll x){//高精度乘法 
	for(int i = 1;i <= len; i++){
		sum[i] *= x; //各位数乘x,如1111×20 = (1000+100+10+1)×20 
	} 
	for(int i = 1;i <= len; i++){
		sum[i + 1] += sum[i] / 10;//获得进位,因为相乘结果可能为 10 3 13 4,需转化为 1 0 4 3 4
		sum[i] %= 10;
	}
	len++;//因为是sum[i+1],所以肯定会计算到sum[len+1],所以需要len++
	while(sum[len] / 10){//观察最高位是否有进位,因为可能有经过前面的操作后可能有 100 3的情况  
		sum[len + 1] = sum[len] / 10;
		sum[len] %= 10;
		len++; 
	} 
    //经过前面的一波操作后,最后可能会导致sum[len]的位置上有0,若为0则需要消除
	if(sum[len] == 0)
	len--; 
}
void division(){//高精度除法,这里只需要进行一次操作,所以不需要参数 
	//思路依旧很简单,如2345/5=(2000+300+40+5)/5,小学生除法 
	//->2 3 4 5 ->0 23(3 + 2%5*10) 4 5 -> 0 4 34(4 + 23%5*10) 5 -> 0 4 6 45(5 + 34%5*10)
	for(int i = len; i >= 1; i--){
		sum[i - 1] += (sum[i] % m[n].right * 10);
		sum[i] /= m[n].right;
	}
	//这波操作必然导致一堆前导0，需消除 
	while(!sum[len]){
		len--;
	}
	//防止除完了
	if(len == 0) cout << "1" << endl; 
} 
int main(){
	cin >> n;
    cin >> m[0].left >> m[0].right;
	for(int i = 1;i <= n; i++)
	cin >> m[i].left >> m[i].right;
	sort(m + 1, m + 1 + n, cmp);
	for(int i = 0;i < n; i++){
		multiplicative(m[i].left); 
	}
	division();
	for(int i = len; i >= 1; i--)
	cout << sum[i];
	
}