压缩感知之一：理论介绍

鉴于之前研一的时候研究过一段时间压缩感知在医学图像的重建中的工作，在这里做一个总结

这一节简单介绍下压缩感知的理论知识（只是简答的了解，限于初学者），有问题请多批评指教

Nyquist采样定理：

Nyquist采样定理指出， 采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高。解决这些压力常见的方案是信号压缩。但是，信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。也就是说我们花了很大代价采样的样本信息，在我们使用的时候还要进行压缩处理，很多信息被丢弃掉，前期的工作被浪费掉。其过程大概如下：

从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说是非信息的。

由此我们就提出能否直接采样不被丢弃的信息？

压缩感知理论：

       直接感知压缩后的信号。

基本方法：

信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率）采样该信号，并可能以高概率重建该信号。

信号的稀疏表示及压缩:

        如果长度为N的信号X，在变换域Φ中只有K个系数不为零（或者明显大于其他系数），且K <

那么在该域下，我们如果只保留这M个大系数，丢弃其他的系数，则可以减小储存该信号需要的空间，达到了压缩(有损压缩）的目的。

同时，以这K个系数可以重构原始信号X，不过一般而言得到的是X的一个逼近。

理论依据：

方法提出者Donoho等人在文章中指出：

设长度为N的信号X在某个正交基Ψ上是K-稀疏的，如果能找到一个与Ψ不相关（不相干）的观测基 Φ，用观测基Φ观测原信号得到M个观测值，得到观测值Y，那么可以利用最优化方法从观测值中高概率重构X。

主要解决的问题：

a.信号的稀疏表示（信号X在某个Ψ上是K-稀疏的）

只有信号是K稀疏的，才有可能在观测M个观测值时，可以从K个较大的系数重建原始长度为N的信号。

b.观测基Φ的选取（即与稀疏域不相干的采样方式）

保证能够从观测值准确重构信号，其需要满足一定的限制：

观测基矩阵与稀疏基矩阵的乘积满足RIP性质，即有限等距性质，具体内容这里不仔细介绍。这个性质保证了观测矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中。

c.重构算法的设计

根据矩阵的RIP性，一般用随即高斯矩阵作为观测矩阵。

解决方法：

现实世界中，人们经常需要对信号进行观测，例如医学图像成像、CT 断层扫描等，以期通过观测信息对原始的信号进行重建。由于计算机的离散化存储，我们可将需重建的信号抽象为一N维向量, 可将对信号的观测抽象为用一×N的矩阵与信号进行乘积。例如在CT 扫描中, 矩阵通常选择为离散Fourier 矩阵。那么，我们所观测的信息为：。（其中n表示观测次数，N表示原始离散信号的维数，x为原始信号，y为观测信号）。

那么，压缩感知的主要任务就是：对尽量小的n，设计×N观测矩阵，以及通过快速恢复的算法，所以，压缩感知的研究主要分为两方面：矩阵的设计与反求信号的算法。

根据RIP性质结合不同的稀疏域构建观测矩阵，一般使用贪婪算法求解。