2019 ACM/ICPC 南昌站 G，拉格朗日插值

题意：
求$$\sum _{i=1}^t\sum _{k=x}^{y}f(i,k)$$
其中$f(i,k)$表示$1,2,3,...,i^k-2,i^k-1,i^k$的异或和
$1\le t\le 10^5,1\le x\le y\le 10^{18}$，最终结果对$10^9+7$取模

分析：
赛后10min写出来，真是可惜
有一个显然但可能不容易想到的结论是$4k,4k+1,4k+2,4k+3(k\in Z)$的异或和为0，因此f(i,k)可以通过算$i^k$对4取模的结果快速求出，这里就不细写了。
k=1时结果仅与i有关，f(i,k)的前缀和可以写成类似等差数列的和，可以快速求出
k>1时$i^k$对4取模只会有$0,1,3$的结果，且i为偶数时结果为0，$i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=1$时结果为1，$i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=3$时根据k的奇偶结果为1或3。
此时结果为1,3时都很好算，而结果为0时$f(i,k)=i^k$，这样我们的问题就是快速求出
$$\sum _{i=2}^t\sum _{k=1}^n{i}^n$$
后面是一个等差数列，求和后是一个关于i的(n+1)次多项式，而前面的求和则是将整个式子变成了一个关于t的(n+2)次多项式
注意到t最大不超过$10^5$，因此选择取值点为$0,1,2,...,t+2$的拉格朗日插值求解，复杂度$O(t\log t)$

代码：

#include
#include
#define mo 1000000007
#define LL long long 
using namespace std;
int t;
LL L,R,y[100050],fac[100050],inv[100050],pre[100050],sub[100050];
int qr(int x,int y)
{
	int t=1;
	for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mo)
		if (y&1) t=1LL*t*x%mo;
	return t;
}
LL cha(LL x,int n)
{
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mo,inv[i]=inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;
	for (int i=2;i<=n;++i) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mo;
	LL yy=0;
	y[0]=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		yy+=(2LL*i)%mo*(2LL*i)%mo*qr(2*i-1,mo-2)%mo*(qr(2*i,t-1)-1)%mo;
		yy%=mo;
		y[i]=yy;
	}
	LL ans=0,prod;
	pre[0]=x%mo;
	for (int i=1;i<=n;++i) pre[i]=pre[i-1]*((x-i)%mo)%mo;
	sub[n]=(x-n)%mo;
	for (int i=n-1;i>=0;--i) sub[i]=sub[i+1]*((x-i)%mo)%mo;
	for (int i=0;i<=n;++i)
	{
		prod=y[i];
		if (i) prod=prod*inv[i]%mo*pre[i-1]%mo;
		if (i<n) prod=prod*inv[n-i]%mo*sub[i+1]%mo;
		if (n-i&1) prod=-prod;
		ans=(ans+prod);
		ans%=mo;
	}
	return ans;
}
LL cal(LL z,int t)
{
	LL ans=0,tmp;
	tmp=(z+1)/4-1;tmp%=mo;
	ans+=tmp*(tmp+1)%mo*4%mo+(tmp+1)*4%mo;
	ans%=mo;
	if (z>=3)ans+=((z-3)/4+1)%mo*(t/2)%mo;
	ans%=mo;
	if (z>=1)ans+=((z-1)/4+1)%mo*(t-1)%mo;
	ans%=mo;
	ans+=cha(z/2,t+3);
	ans%=mo;
	for (LL i=((z+1)/4)*4;i<=z;++i)
		if (i%4==0) ans=(ans+i)%mo;
		else if (i%4==1) ans=(ans+1)%mo;
		else if (i%4==2) ans=(ans+1+i)%mo;
	return ans%mo;
}
main()
{
	scanf("%d%lld%lld",&t,&L,&R);
	printf("%lld\n",((cal(R,t)-cal(L-1,t))%mo+mo)%mo);
}