状态压缩DP总结

参考博客：https://blog.csdn.net/accry/article/details/6607703

状态压缩主要指的是用位运算代替枚举压缩DP的时间，如果某一个状态和之前状态的顺序没有关系，那么就可以将之前的选或者不选压缩到一个二进制数中。在选择第i个时枚举之前的所有可能的i-1状态，但是这i-1状态是不记录顺序的，只在i-1到i时考虑顺序，这样的话往往能够节约很多时间。

【POJ3311】Hie With The Pie

大致题意是从原点出发送披萨到n个点{pi}，给了pi直接到pj的时间，求送一遍再回到原点的最短时间（每个点可以走无数次）。但是有可能绕一段路比直接去时间更短，这就需要预处理一下找到pi到pj的最短时间，因为点的个数比较少所以O(n^3)也不会超时。具体的代码没有写过，看了一下题目和题解，觉得这题还是挺经典的。想法很简单，每一个子状态就是现在所在的点和之前到过的点，用一个二进制数来表示，然后枚举在这个点之前最后到的是哪一个点，求出最短的时间。然后一些位运算的小技巧也是需要注意的：dp[S][i] =min(dp[S^(1<<(i-1))][j] + dis[j][i],dp[S][i]);用异或来表示除了i没有走过其他都和S相同的状态。

【HDU3001】Traveling

这题和上一题最大的不同在于每个点最多只可以走两遍。很自然地想到要用三进制数来压缩状态。不过三进制数好像没有直接的位运算，所以得自己写。然后看了一下大佬的代码学习了一下怎么写三进制的DP优化。算一个十进制表示的k进制数的每一位是多少就是不断把这个数%k然后／=k就可以了。把一个三进制数的每一位都记下来，然后和之前一样做就好了，判断不能走的条件是某一位不能是2可以是1。不过三进制这种自己写的显然要比位运算慢很多，但是题目数据很小，只有10所以还是能过的。

【POJ2288】Islands and Bridge

题目大意是每一个点都有权值Vi，寻找一条汉密尔顿回路使得权值最大，计算方法是把回路中每个点的权值相加，再把走的相邻两点的权值之积相加，最后如果路径上相邻的三个点Pi-2，Pi-1，Pi使得Pi-2与Pi-1之间有路径相连（可以构成三角形）就把所有满足条件的这三个点权值之积做和，三部分和相加得到最后的得分。这题其实细想并不难，基本思路也是一样，只不过这回i的权值是和前两个点有关的，这个意思就是状态要记录S，i，i-1开一个三位数组，转移的时候算一下得分就好了。

【ZOJ4257】MostPowerful  

题目大意是有n种气体{gas[i]}，每两种之间反应消耗其中一种可以产生能量energy[i][j]，求产生的最大能量。思路很简单每一种状态是用0表示气体还在，1表示已经用过了，枚举下一次可以用的气体，然后更新下一个状态的值。但是我刚开始想的时候考虑的是枚举达到这种状态的最后一步，i和j反应用掉了i，但是这样的话要转移还要考虑前面的状态S^(1<

【POJ2411】Mondriaan'sDream   

题目大意是用1*2的小矩形填满一个大矩形，有多少种填法。大致的思路还是会的，就是看一下i-1行的状态然后枚举i行可能的状态这样就得到了在i行某种状态下的方法数了。但是怎么表示一种状态是一个很大的问题。其实很自然的就会想到用二进制来表示，把矩形分成1*1的小格每一个格子是一个数，1是填了0是没填。上一行有0的地方这一行一定是放竖着的，先填一个state0，然后枚举横着的方法state[i]，state[i]&state[0]==state[0]保证一定要放的那些都放了。如果state[i]^state[0]后没有连起来的奇数的一段，那么就是合法的。这样就可以转移了。在网上找到一个很精妙的代码，大致是先把竖的放好，一个一个位置递归的填过来，每一次不填和填两个。

#include
#include
long long f[30][1<<12],i,j,height,width,saya=1;
void sayatime (int i,int s1,int pos){
    if (pos==width) {f[i][s1]+=saya;return;}
    sayatime(i,s1,pos+1);
    if (pos<=width-2&&!(s1&1<