【树上倍增】【USACO MAR11银组】聚会地点
题目描述
Bessie和Jon每天都要去他们所居住的小镇的某些地方游玩。有趣的是，他们居住的小镇是一个树的结构，也就意味是，小镇的每个地方之间有且仅有一条通路（不是指一条边，而是指一条通路），每个地方都会有且仅有一个父亲地点（除了小镇的城镇中心，它没有祖先）。
小镇共有N个地点(1 <= N <= 1,000)，编号1～N。点1是镇的中心。
Bessie和Jon决定每天都要在游玩后见面，他们见面的地点总是在他们游玩的两个地方之间的那条通路中，离城镇中心最近的地方，下面给出他们的旅行日程，你需要帮他们每天的见面地点。
你可以理解为城镇中心就是成为在这个树结构上的根。
地点 它的父亲地点
[1] --------- ----------------
/ | \ 1 ---（城镇中心没有父亲）
/ | \ 2 1
[2] [3] [6] 3 1
/ | \ 4 2
/ | \ 5 8
[4] [8] [9] 6 1
/ \ 7 8
/ \ 8 6
[5] [7] 9 6以下为他们某次见面的安排：
Bessie Jon Meeting Place
-------- -------- ---------------
2 7 1
4 2 2
1 1 1
4 1 1
7 5 8
9 5 6输入
第1行：两个数N,M代表一共有N个地方，B和J已经进行了M次见面
第2..N-1行，每行一个数X，代表第i个地点的父亲为X
再接下来M行，每行两个数，分别代表B和J当天准备去游玩的地方
1<=N<=1000,1<=M<=1000
输出
一共M行，每行一个数代表B和J当天见面的地方。
样例输入
9 6
1
1
2
8
1
8
6
6
2 7
4 2
3 3
4 1
7 5
9 5
样例输出
1
2
3
1
8
6
分析
这道题有两种方法：暴力*and倍增*。
先来看看倍增吧。。
树上倍增
建一个二维数组f，f[i][j]表示节点i的第 2j 个祖先。
可知i的枚举范围为 O(n) ，j的枚举范围为 O(logn)
可得出：
- f[i][0]=fa[i]
- f[i][j]=f[f[i][j−1]][j−1]
即
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=fa[i];
for(int j=1;j<=LOG;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];getk操作
定位节点x的第k个祖先（父亲为第一个祖先）：
根据倍增数组的性质，一次只能向上跳2的次幂个节点。
将k拆成二进制数，即可通过2的次幂凑出k。
觉得有点像线段树。。。
int getk(int x,int k){
for(int i=0;iif(k&(1<return x;
} getd操作
定位节点x的深度为d的祖先：
int getd(int x,int d){
return getk(x,dep[x]-d);
}最近公共祖先
在一棵有根树上找到两个点u,v，它们的共有祖先中离跟越远（深度越大）的节点就叫做最近公共祖先（LCA）。
举个栗子，如上图中，8和9的最近公共祖先是5，3和7的最近公共祖先是1。通常，两个一样的点的最近公共祖先是它自己，所以3和3的最近公共祖先是3。（这不是废话吗。。。）
用倍增数组求两个节点的LCA
首先用getd操作，统一两个节点的深度，这样子并不会影响答案。
当两个节点深度相同时，我们既可以通过二分深度+getd操作判定来确定LCA（时间复杂度 O(log2n) ），也可以直接用倍增数组查找LCA。
首先 u=v ，答案就是u。（如果你不特判，很坑的。。）
如果 u≠v ，就可以用下列代码：
for(int i=LOG-1;i>=0;i--)
if(f[u][i]!=f[v][i]){
u=f[u][i];
v=f[v][i];
}其实它就是从下往上找，找到最后的两个不一样的节点。然后这些点的父亲就是答案了。
附：
二分LCA代码：
int LCA(int u,int v){
if(dep[u]if(u==v) return u;
int l=1,r=dep[v];
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
if(getd(u,mid)==getd(v,mid)) l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return f[getd(u,l)][0];
} 数组LCA代码：
int LCA(int u,int v){
if(dep[u]if(u==v) return u;
for(int i=LOG-1;i>=0;i--)
if(f[u][i]!=f[v][i]){
u=f[u][i];
v=f[v][i];
}
return f[u][0];
} 代码
#includeif(k&(1<return x;
}
int getd(int x,int d){
return getk(x,dep[x]-d);
}
void dfs(int x,int deep){
dep[x]=deep;
int len=son[x].size();
for(int i=0;i1);
}
int LCA(int u,int v){
if(dep[u]if(u==v) return u;
for(int i=LOG-1;i>=0;i--)
if(f[u][i]!=f[v][i]){
u=f[u][i];
v=f[v][i];
}
return f[u][0];
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=2;i<=n;i++){
int x=read();
f[i][0]=x;
son[x].push_back(i);
}
for(int j=1;j<=LOG;j++)
for(int i=2;i<=n;i++)
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
dfs(1,1);
while(m--)
printf("%d\n",LCA(read(),read()));
} 暴力
暴力就很简单了，以下图为例。
我们让u,v两个点走到根节点，并把他们的路径记录下来。这里以7和9为例。
7 6 5 1
9 5 1从路径中可以看出5是他们第一个共同的祖先，所以答案就是5啦。。。暴力出奇迹
代码就不打啦。。。