[AGC045] A - Xor Battle

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知识点 线性基

参考博客：
Menci 线性基学习笔记
fffasttime 异或和与线性基问题入门

总体看下来感觉知识点不算难，但是得多看不同的博客才能找到自己看懂这个知识点的节奏…

过于严谨的数学定义不予深究，毕竟也只是在网络博客的只言碎语中学习到了该知识点，并未进行严谨的系统学习。简单的说，如果给出某个序列，我们可以据此得到这个序列所蕴含的基底，通过这组基底，可以张成一个至少包含该序列中所有值的空间。因而，如果我们需要对原序列的进行某些异或操作，就有可能可以等价地通过其线性基来操作。

构造办法如下：

const int L = 63;
ll d[L];
bool add(ll x){
    for(int i = L - 1; i >= 0; i--) if(x & 1ll << i){
        if(d[i] == -1){d[i] = x; return true;}
        x ^= d[i];
    }
    return false;
}

如何获得基底的思想与Gauss消元类似，在矩阵中不断相减得到最简三角矩阵。

在这道题中，我们设置集合$S[i]$，包含了第i次操作前能够使得最终结果为0的所有元素。从后往前遍历，有如下关系：

• 若$s[i]=0$，那么$S[i]=S[i+1]\cup \{x|x=a[i]\oplus u,u\in S[i+1]\}$
• 若$s[i]=1$：若$a[i]\in S[i+1]$：记$x\in S[i]$ ，那么必有$x\oplus a[i]\in S[i+1]$，只有这样才能保证无论1号怎么选择最终都会失败，从而由集合$S$的封闭性易知$S[i]=S[i+1]$；当$a[i]\notin S[i+1]$时，进行i操作之前的结果$x$与$x\oplus a[i]$总有一个不在$S[i+1]$中，此时1必胜。

因为集合的封闭性，所以张成的向量空间里所有的值都可以被取到。综上考虑，我们可以用线性基维护该集合。（然而这一块感觉还是有点不太清楚qwq

const int maxn = 200 + 10;
ll a[maxn];

const int L = 63;
ll d[L];
bool add(ll x){
    for(int i = L - 1; i >= 0; i--) if(x & 1ll << i){
        if(d[i] == -1){d[i] = x; return true;}
        x ^= d[i];
    }
    return false;
}

int main(){
//    Fast;
    int t; scanf("%d", &t); while(t--){
        memset(d, -1, sizeof d);
        
        int n; scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", a + i);
        char s[maxn]; scanf("%s", s);
        int flag = 0;
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
            if(add(a[i]) && s[i] == '1'){
                flag = 1;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n", flag);
    }
    return 0;
}