离散时间复指数序列的周期性质

目录

序言

连续时间复指数信号

离散时间复指数序列的性质考察

考察离散时间复指数序列是否满足第一条性质

由研究第一条性质得到的规律

考察第二条性质

离散时间复指数序列的基波周期和基波频率

成谐波关系的周期离散时间复指数信号

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序言

写这篇博文的目的有两个：

其一是为了下一篇博文：离散周期序列的傅里叶级数做准备，以及以后的信号处理学习打下基础。

其二就是单纯地去学习这一个重要的信号，它和连续时间复指数信号在数字信号处理的地位不可轻视！

连续时间复指数信号

采样对比的方式来研究这个信号，连续时间复指数信号具有以下两个性质：

• 愈大，信号振荡的速率就愈高；
• 对任何都是周期的。

 

下面也就这两个方面来考察离散时间复指数序列；

离散时间复指数序列的性质考察

考察离散时间复指数序列是否满足第一条性质

研究频率为的离散时间复指数序列：

可见，在离散时间情况下，具有频率为的复指数信号与这些频率的复指数信号是一样的。

因此：

考虑这种离散时间复指数信号时，仅仅需要在某一个间隔内选择即可。

由研究第一条性质得到的规律

从上面的式子

我们知道，离散时间复指数信号就不具有随在数值上的增加而不断增加其振荡速率的特性，那它有什么样的规律呢？

看下面这幅图：

从上图我们可以看出如下信息：

随着从0开始增加，其振荡速率越来越快，直到为止，然后继续增加，其振荡速率就会下降，直到为止，这时又得到和同样的结果（常数序列）。因此，总结如下规律：

离散时间复指数的低频部分（也就是慢变化）位于在0，和任何其他的偶数倍附近；

而高频部分（也就是快变化），则位于的奇数倍值附近。

特别注意的是，在及其他任何的奇数倍处，有：

以至信号在每一点上都改变符号，产生激烈振荡！

考察第二条性质

第二个性质也就是离散时间复指数信号的周期性问题。

思路：

若要使信号是周期的，周期为N，就必须有：

这样就必须满足：

为了满足上式，必须是的整数倍，也就是必须存在一个m，使得

上式变形：

也就是说，如果是一个有理数，则离散时间复指数序列就是周期的，否则不是；（事实上，这不就是要求是的倍数吗？的确如此，只有这样，才是一个有理数呀！）

从这里看来，离散复指数序列的周期性是有条件的，这点和连续复指数信号也不一样。

离散时间复指数序列的基波周期和基波频率

由上面的分析可以知道，如果离散时间复指数序列满足其成为周期信号的条件，也就是存在一个整数m，使得，这样

是一个周期的离散复指数序列，那么它的基波周期和基波频率就可以求得：

由于必须满足，所以就是它的基波周期，就是它的基波角频率。

说到这里还是不免觉得有点虚，那就不如用实际例子来说明下吧：（手稿）

如果用现有的结论来判断：

举个反例：

这里再说一句吧，如果为一个整数的话，那么就是该离散时间复指数信号的基波周期。

成谐波关系的周期离散时间复指数信号

手稿形式如下：

最后一部分很重要，下篇博文离散周期信号的傅里叶级数会用到！

记于2018/7/18 22:59