趣题：内切圆与最大内接矩形

      
    看图，DEFG为直角三角形ABC的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。证明：当内接矩形的面积达到最大时，r1^2 + r2^2 = r3^2。











































      
    四个直角三角形ABC, EDC, AEF, DBG显然相似，内切圆半径与边长一样对应成比例。因此，我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。这里，我们重点观察四个三角形斜边长的关系。
    如果△ABC的三边BC, AC, AB长度分别为a, b, c，那么对于某个相似比k，其余三个三角形的对应边长度如下：

△ABC     a      b      c
△EDC    ka     kb     kc
△AEF    ...    ...  (1-k)b
△DBG    ...    ...  (1-k)a

    现在，我们要证明的是，当矩形DEFG面积达到最大时，有：
  [(1-k)a]^2 + [(1-k)b]^2 = (kc)^2

    也即
  (1-k)^2 * a^2 + (1-k)^2 * b^2 = k^2 * c^2

    同时，我们还知道a^2 + b^2 = c^2。等式两边同时乘以k^2后与上式相减，我们就得到：
  (1 - 2k) * (a^2 + b^2) = 0

    显然，只有k=1/2时上式才有可能成立。
    接着看，由△DBG ∽ △ABC，可知 DG/AC = BD/AB，因此DG = (1-k)ab/c。另外，我们还知道DE=kc，那么矩形DEFG的面积就可以这样表示：
  S = DG x DE = (1-k)k * ab

    S取最大等价于函数f(k)=(1-k)k达到最大值。这个函数是一个以0和1为根的上下颠倒的抛物线，显然在k=1/2时达到最大值。

来源：cut-the-knot新文
Matrix67原创翻译