组合基础1 组合数 二项式定理 卡特兰数 生成函数基础

组合数

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
可用Lucas定理和扩展Lucas计算。同时也是一个$m$次多项式，可用多项式算法计算。

插板数

将$n$个无区别的人分为$m$个无区别的可空组有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{n}\right)$种方法。

二项式定理

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}^{n-i}$$
考虑两种方向。

练习题

求${\sum }_{i=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)}^2$。

由二项式定理，$$(x+1{)}^{2n}=(x+1{)}^n(x+1{)}^n$$$$\sum _{i=0}^{2n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{i}\right)x^i=\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^j{x}^k$$
比较两边的$n$次项系数可得$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)=\sum _{j+k=n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\sum _{j+k=n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)=\sum _{j=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)}^2$$

卡特兰数

$$Ca{t}_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1}\right)$$
$$Ca{t}_n=\sum _{i=0}^{n-1}Ca{t}_i\cdot Ca{t}_{n-1-i}$$
前几项为$1$，$2$，$5$，$14$，$42$，可用于打表。

由第二个式子可用生成函数的方法推得第一式，但我不会。

卡特兰数等于在非负坐标方格图上从$(0,0)$走到$(n,n)$而不跨越直线$y=x$的方案数，由此可得上式的一种证明方法。答案是总方案数$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$减去不合法的方案数，考虑折线第一次穿越$y=x$的时候，将这之前（含）的折线沿$y=x$翻转，再将之后的接到上面，发现终点变为了$(n+1,n-1)$。于是不合法的方案数就是从$(0,0)$到$(n+1,n-1)$且限制第一步往右走的方案数，即$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1}\right)$。

*from http://lanqi.org/skills/10939/

卡特兰数还等于合法括号序列数、合法出栈序列数、二叉树数、多边形三角剖分数等。

生成函数

https://blog.csdn.net/myjs999/article/details/81042100