威尔逊定理

定理

若 \(p\) 为素数，得：

\[\large (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \]

\(p\) 为素数和威尔逊定理互为充分必要条件，即威尔逊定理可以用来判定一个数是否为素数。

证明

先同除 \(-1\)，即证明：

\[\large (p-2)! \equiv 1 \pmod{p} \]

即可。

当 \(p=2\) 时显然成立。当 \(p \not = 2\) 时，\(p\) 为奇数，所以不考虑 \(1\) 时，\((p-2)!\) 为偶数个数连乘。考虑到 \(1\) 和 \(p-1\) 的逆元都是其本身，所以 \(2,3,\dots,p-3,p-2\) 这偶数个数中每个数的逆元都在里面出现了，所以这些数可以两两配对乘起来得 \(1\)。