hdu3037 大组合数取模(Lucas定理)

题目相当于求n个数的和不超过m的方案数。

如果和恰好等于m，那么就等价于方程x1+x2+...+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：

(m+1)*(m+2)...(m+n-1)  = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)

现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得

C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)

= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)

= C(n+m,m)

现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。

然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值

下面简单介绍一下Lucas定理：

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。
描述为:
Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;

简单的理解就是：

以求解n! % p 为例，把n分段，每p个一段，每一段求得结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n/p)! ，相当于

划归了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n！的情况，当然C(n,m)就是n！/(m! *（ｎ－ｍ）！），每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右。

而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p

其实就是求 ( a! / (a-b)!)  * ( b! )^(p-2) mod p

  (上面这一步变换是根据费马小定理：假如p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒为1,

那么a和a^(p-2)互为乘法逆元，则（b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)

用下面的Lucas定理程序实现就能得出结果，实现过程中要注意乘法时的强制转换

#include 
#include 

//typedef __int64 lld;
typedef long long lld;
lld N,M,P;

int Pow(lld a,lld n,lld p)
{
	lld x = a;
	lld res = 1;
	while(n)
	{
		if(n & 1)
		{
			res = ((lld)res * (lld)x) % p;
		}
		n >>= 1;
		x = ((lld)x*(lld)x) % p;
	}
	return res;
}

int Cm(lld n,lld m,lld p)
{
	lld a = 1,b = 1;
	if(m > n) return 0;
	//实现(a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p,由于n比较大，所以，此处不知道有什么好的优化
	while(m)
	{
		a = (a * n) % p;
		b = (b * m) % p;
		m--;
		n--;
	}
	return ((lld)a * (lld)Pow(b,p-2,p))%p;
}

int Lucas(lld n,lld m,lld p)
{
	if(m==0)
		return 1;
	return((lld)Cm(n%p,m%p,p)*(lld)Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}

int main()
{
	int t;
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%I64d%I64d%I64d",&N,&M,&P);
		printf("%d\n",Lucas(N+M,M,P));
	}
	return 0;
}