算法导论学习笔记2

分而治之



例子：求解股市最大收益

P38



思路

? 容易犯的错误
? 使用穷丼两两组合的方法


转化问题



分而治之的思路






伪代码



算法分析

《算法导论》第42页


矩阵乘法的Strassen算法

? 普通矩阵乘法算法复杂度为n立方级别
? 分而治之的思路，可以达到n平方级别

P43


伪代码



分治法算法复杂度推算

? 从递归式子推算复杂度
? 代入法
? 递归树
? 主方法与主定理



用递归树方法求解递归式

p50

用主方法求解递归式

p53

堆排序（heapsort）

? 二叉堆



最大堆和最小堆

? 最大堆：应用于堆排序
? 最小堆：应用于构造优先队列



堆排序过程



MAX-HEAPIFY过程

? 要解决的问题：当根节点（相对）的左子树和右子树都是最大堆时，怎样把堆变成最
大堆？



节点逐级下降示意图


把堆变成最大堆

? 利用分而治之和递归的标准思路





堆排序

算法分析

? 复杂度O（nlgn）
? 复杂度要低于插入排序，与归并排序相若
? 具有空间原址性，即可以在原数组内进行排序而不需要额外空间，与插入排序相若，
优于归并排序

快速排序的算法思想



伪代码





过程图解





算法分析

? 最坏情况
? 最好情况
? 平均情况O(nlgn)



习题 1：归并排序（数组上的分治）

代码

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 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 #define MAXN 70000
 int        a[MAXN];
 int        la[MAXN], ra[MAXN];
 long long    cnt; /* 逆序对数目 */
 void merge( int l, int m, int r ) /* l 左边界，m中值，r右边界 */
 {
     int p1 = 0, p2 = 0, j, k;
     for ( int i = l; i <= m; i++ )
         la[p1++] = a[i]; /* 初始化la数组 */
     for ( int i = m + 1; i <= r; i++ )
         ra[p2++] = a[i]; /* 初始化ra数组 */
     la[p1]    = ra[p2] = 0x3f3f3f3f;
     j    = k = 0;
     for ( int i = l; i <= r; i++ )
     {
         if ( la[j] <= ra[k] )
             a[i] = la[j++];
         else{
             a[i]    = ra[k++];
             cnt    += p1 - j;
         }
     }
 }


 void mergeSort( int l, int r )
 {
     if ( l >= r )
         return;
     int m = (l + r) >> 1;
     mergeSort( l, m );
     mergeSort( m + 1, r );
     merge( l, m, r );
 }


 int main()
 {
     int n;
     while ( ~scanf( \"%d\", &n ) )
     {
         cnt = 0;
         for ( int i = 0; i < n; i++ )
             scanf( \"%d\", &a[i] );
         mergeSort( 0, n - 1 );
         printf( \"%lld\\n\", cnt );
     }
     return(0);
 }

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