python之SVD函数介绍

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1、python的mat函数

　我们看到一开始随机生成的数组与使用mat函数之后的类型是发生了变化的，尽管他们显示的东西没有什么区别，但是实质上，他们的类型是不同的。调用mat()函数可以将数组转换为矩阵，然后可以对矩阵进行一些线性代数的操作。

2、在python中使用SVD

numpy中的linalg已经实现了SVD，可以直接调用

有一点需要注意，sigma本来应该跟A矩阵的大小2*3一样，但linalg.svd()只返回了一个行向量的sigma，并且只有2个奇异值（本来应该有3个），这是因为第三个奇异值为0，舍弃掉了。之所以这样做，是因为当A是非常大的矩阵时，只返回奇异值可以节省很大的存储空间。当然，如果我们要重构A，就必须先将sigma转化为矩阵。

3、numpy.linalg.svd函数

函数：np.linalg.svd(a,full_matrices=1,compute_uv=1)。

参数：

• a是一个形如(M,N)矩阵

• full_matrices的取值是为0或者1，默认值为1，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N) 。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。

• compute_uv的取值是为0或者1，默认值为1，表示计算u,s,v。为0的时候只计算s。

返回值：

• 总共有三个返回值u,s,v

• u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)。

• A = u*s*v

• 其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。 

关于奇异值的解释：

• 对于方阵而言A=QQ-1     其中的就是特征向量。但是对于不是方阵的矩阵而言就没有特征向量。
• 非方阵的矩阵可以用奇异值分解来描述这个矩阵。A=UVT。其中U叫做左奇异值，叫做奇异值，V叫做右奇异值。因为只有对角线的数不为0，并且数值是从大到小排列，所以一般只取r个，r的值越接近A的列数，那么三个矩阵的乘法得到的矩阵越接近A。
• 因为三个矩阵的面积之和远远小于原矩阵A，所以当我们向压缩空间表达A的时候，可以使用这三个矩阵。
• 当A不是矩阵的时候，把A转置变为 AT。并且。其中的v就是右奇异值。，这里的就是上面的奇异值。，这里的u就是上面的左奇异值。