算法总结之贪心算法

算法总结之贪心算法

贪心算法概要

贪心算法，顾名思义，就是做出对当前最有利的选择。贪心算法并不从整体最优考虑，而是一定意义上的局部最优解。当然在很多情况下，贪心算法得到的最优解也是整体上的最优解，如最短路径问题、最小生成树问题，一些情况下，贪心算法得到的即使不是全局最优解，其结果也是最优解的很好近似。当问题的精确求解变得非常困难时，使用贪心算法对问题进行求解，也是一种可行的办法。

但是需要注意的是贪心算法进行求解的问题是有条件的，只能对特定类型的问题使用，也就是组合优化问题。组合优化问题首先考虑的是这个问题能不能正面解决，也就是看它能否进行规约，将其变为一个个小问题。然后根据我们学过的知识，判断能不能进行分治法求解，继续观察原问题的结构，如果问题能够问题能继续分解为最优子结构，就意味着我们可以使用动态规划进行求解，这也是我们之前学过的分治法和动态规划的求解思路。在这两个求解思路上，如果问题不仅仅可以被规约成小的问题，并且它有最优子结构性质，同时还具备第三种性质：贪心选择，那此时可以采取第三种方法，贪心算法来进行问题的求解。

贪心算法的基本思路：给定一个初始的解出发慢慢逼近给定的目标，直至问题中的条件得到满足无法继续进行求解，显然选定的初始条件会对问题的求解精度产生很大的影响。

下面对一些常见的贪心算法的问题做一些总结归纳。

课程安排问题

这是教科书上典型的贪心算法，延伸出来的活动安排等问题也是一样的。有N个课程集和一间教室，教室同时只能被一个课程占用，每个课程有开始时间$s_i$和结束时间$f_i$，现要求尽可能多的使参加的活动最大化，也就是所占时间区间的最大化。

这道问题的贪心策略就是按照结束时间对所有课程排序，选择结束时间尽量早的课程，然后选择的下一个课程开始时间晚于当前课程的结束时间。算法得到的解为全局最优解，贪心选择的意义使剩余的可安排时间最大化，从而安排最多的相容活动。

具体代码为

//输入数组s、j为排好序的课程开始和结束数组，A为标记选择哪个课程的数组，初始化为0
void greedySelector(int n, vector& s, vector& f, vector& A){
    A[1] = true;
    int j = 1; //最近一次加入的活动
    for(int i=2; i=f[j]){
            A[i] = true;
            j = i;
        }
    }
}

算法的时间复杂度与排序的时间复杂度相同，为$O(nlogn)$。

乘船渡河

一群人乘船渡河，单个人的体重不会超过穿的载重，每条船最多载两人并且不能超出船的载重，求最少需要多少条穿才能让所有人都过河。

贪心策略为让体重大的人尽量和体重小的人凑对坐船

正确性证明：ABCD四个人是按照体重从大到小排序的，$P_A>P_B>P_C>P_D$，若不按照贪心策略，安排B和D坐一条船，此时A和C可能坐一条船，也可能坐不下；
若A和C可以坐一条船，那么四个人需要两条，分别为(A,C)和(B,D)。既然(A,C)可以，那么(A,D)，(B,D)组合同样满足，此时贪心策略也是需要两条船。
若A和C不能坐上同一条船，那么四个人需要三条船才能满足条件，分别为A,C,(B,D)，按照贪心策略，尽量保证(A,D)和(B,C)的匹配，若A、D能坐一条船，如果B、C能坐一条船，此时需要两条船，否则需要三条船。若A、D不能做一条船，那么A一条船，B、C一条船，D一条船，此时需要三条船
因此贪心策略的算法总是会产生最小的坐船数量。

具体代码为：

int minBoat(vector weight, int limit){
    int n = weight.size();
    sort(weight.begin(), weight.end());
    int l = 0, r = n-1;
    int result = 0;
    while(l <= r){
        if(weight[r] >= limit || weight[r] + weight[l] >= limit){
            r--;
            result++;
        }
        else{
            l++;
            r--;
            result++;
        }
    }
    return result;
}

算法的时间复杂度与排序的时间复杂度相同，为$O(nlogn)$。

绳子乘积最大

将绳子剪为不定长不定数量的小段，使得所有数量的小段绳子乘积最大。

贪心策略为尽量裁剪长度为3的小段绳子。
正确性证明：当绳子长度小于5时，不用裁剪；数量继续增长，总能分解为2的累加，对于绳子拆分为2的累加情况，由于$2\ast 2\ast 2<3\ast 3$，因此将绳子拆分为3的小段所得乘积最大

算法代码为:

int maxRope(int len){
    if(len < 5) return len;
    int times3 = len%3 == 1? len/3-1: len/3;
    int remainder3 = len - 3*times3;
    return pow(3, times3)*remainder3;
}

计算时间复杂度为幂的计算时间复杂度，为$O(logn)$。

猴子香蕉问题

一条直线上有N个位置，每个位置要么是猴子，要么是香蕉。每只猴子只能吃一根香蕉，猴子可以吃到离它左右两边最远K步远的香蕉，求被猴子吃掉的最多香蕉数。

贪心策略为猴子吃掉从左边第K步远到右边K步远的第一根香蕉
贪心策略的证明：第X个猴子吃X左边第K步远到右边K步远的第一根香蕉A，如果不吃，那么后面的猴子很有可能吃不到这根香蕉，并且后面的猴子可能没有香蕉吃，那么吃掉的香蕉数量肯定比贪心策略得到的数量小。

具体的代码为：

 int maxBanana(vector line, int K){
    int n = line.size();
    int result = 0;
    for(int i=0;in-1) continue;
                if(line[j] == 'B'){
                    result++;
                    line[j] = "S";
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return result;
}

遍历整个数组，算法的时间复杂度为$O(n)$。