从线性组合的角度理解三维运算

从线性组合的角度理解三维运算

一、矩阵的向量化

利用分块矩阵概念，矩阵$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$可以按行划分为一组行向量
$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_m\end{array}\right)$$
其中
$${\alpha }_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}),i\in [1,2,\cdots ,m]$$
或，按列划分为一组列向量$A=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$，其中

$${\beta }_j=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right),j\in [1,2,\cdots ,n]$$

因此，矩阵$A$可以看成是有序向量组$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m{)}^T$或$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$。

二、向量的线性组合

假设数域$F$上的线性空间$V_m$上的一组基为$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$，则$V$上任一向量$\alpha$可以表示为这组基的线性组合：
$$\alpha =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$$

三、矩阵乘法的向量式

同样利用分块矩阵概念，矩阵$A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{ij}{)}_{n\times s}$的乘法可以表示为：
$$AB=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_m\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{1}B\\ {\alpha }_{2}B\\ ⋮\\ {\alpha }_{m}B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{\gamma }_j\\ \sum _{j=1}^n{a}_{2j}{\gamma }_j\\ ⋮\\ \sum _{j=1}^n{a}_{mj}{\gamma }_j\end{array}\right)$$
其中，按行划分，$B=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n{)}^T$，$AB$可以看成：$AB$的第$i$行向量是$B$行向量组的线性组合，系数为$A$的第$i$行${\alpha }_i$。

或
$$AB=A({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_s)=(A{\theta }_1,A{\theta }_2,\cdots ,A{\theta }_s)=\left(\begin{array}{cccc}\sum _{i=1}^n{\beta }_1{b}_{i1}& \sum _{i=1}^n{\beta }_2{b}_{i2}& \cdots & \sum _{i=1}^n{\beta }_i{b}_{is}\end{array}\right)$$
其中，按列划分，$B=({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_s)$，$AB$可以看成：$AB$的第$j$列向量是$A$列向量组$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$的线性组合，系数为$B$的第$j$列${\theta }_j$。

因此，矩阵乘法可以理解为：

• $AB$是$B$行向量组的线性组合；
• $AB$也是$A$列向量组的线性组合。

四、线性组合在三维计算中的应用

在三维计算中，我们常看到坐标左乘矩阵，或者坐标右乘矩阵：

1. 坐标左乘矩阵

由矩阵乘法与向量节，$AB$的第$i$行向量是$B$行向量组的线性组合，系数为$A$的第$i$行${\alpha }_i$。这时，$R^n$上的坐标可以表示为行向量$v=(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$，矩阵看成是一组行向量$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n{)}^T$，坐标左乘为
$$vA=v\cdot A=(c_1,c_2,\cdots ,c_n)\cdot ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=\sum _{i=1}^n{c}_i{\alpha }_i$$

2. 坐标右乘矩阵

由矩阵乘法与向量节，$AB$的第$j$列向量是$A$列向量组的线性组合，系数为$B$的第$j$列${\theta }_i$。这时，$R^n$上的坐标可以表示为列向量$v^T=(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$，矩阵看成是一组列向量$A=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$，坐标右乘为
$$A{v}^T=A\cdot v=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots ,c_n)=\sum _{i=1}^n{c}_i{\beta }_i$$

3. 使用线性组合的方式来表示点与矩阵乘法

这里，在空间坐标系下，只讨论方阵。

由以上坐标左乘矩阵与坐标右乘矩阵讨论可以看出，我们在三维计算中使用的坐标与方阵乘法，无论左乘还是右乘，都是点坐标分量与向量组的线性组合关系，左乘和右乘只是约定了向量的书写方式（行或列）。

从而，方阵可以看成是有序向量组$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$，其中${\alpha }_i$可以为行或列向量，我们可以定义方阵与点坐标的乘法为
$$v\cdot A=A\cdot v=(c_1,c_2,\cdots ,c_n)\cdot ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots ,c_n)=\sum _{i=1}^n{c}_i{\alpha }_i$$

这样，点与方阵不论左乘还是右乘，形式都是一样的。

其中，上述运算满足与方阵乘法的结合律：
$$(v\cdot A)B=(\sum _{i=1}^n{c}_i{\alpha }_i)B=\sum _{i=1}^n{c}_i{\alpha }_{i}B=\sum _{i=1}^n{c}_i(AB{)}_i=v\cdot (AB)$$

不过，由于方阵间乘法与矩阵的行列模式相关，一般的$AB\ne BA$，所以需要注意方阵行列模式选择的一致性。
$$(A\cdot v)B=(\sum _{i=1}^n{c}_i{\beta }_i)B\ne \sum _{i=1}^n{c}_i{\beta }_{i}B$$
其中$({\beta }_i{)}_{n\times 1}{B}_{n\times n}$无法相乘，列模式下应为：
$$B(A\cdot v)=B(({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)\cdot (c_1,c_2,\cdots ,c_n))=B(\sum _{i=1}^n{c}_i{\beta }_i)=\sum _{i=1}^n{c}_i(B{\beta }_i)=\sum _{i=1}^n{c}_i(BA{)}_i$$
所以，需要注意左乘与右乘的选择，它关系到方阵的运算结果。

4. 几何解析

1. 一组基就是一个空间坐标系，每一个基向量就是一个坐标轴向量；
2. 点坐标就是在该坐标系下各坐标分量；

假设有两个空间坐标系（两组基）$M_1,M_2$，点$v$在各自坐标系下的坐标为$v_1,v_2$，有

行向量模式

$$v_1{M}_1=v_2{M}_2$$

$$v_1=v_2{M}_2{M}_1^{-1}$$

$$v_1{M}_1{M}_2^{-1}=v_2$$

其中:

• $M_2{M}_1^{-1}$是点$v$在空间坐标系2点坐标$v_2$到空间坐标系1点坐标$v_1$的过渡矩阵。
• $M_1{M}_2^{-1}$是点$v$在空间坐标系1点坐标$v_1$到空间坐标系2点坐标$v_2$的过渡矩阵。

列向量模式

$$M_1{v}_1=M_2{v}_2$$

$$v_1=M_1^{-1}{M}_2{v}_2$$

$$M_2^{-1}{M}_1{v}_1=v_2$$

其中:

• $M_1^{-1}{M}_2$是点$v$在空间坐标系2点坐标$v_2$到空间坐标系1点坐标$v_1$的过渡矩阵。
• $M_2^{-1}{M}_1$是点$v$在空间坐标系1点坐标$v_1$到空间坐标系2点坐标$v_2$的过渡矩阵。

行列模式之间为转置关系

$$(v_r{M}_r{)}^T=M_c{v}_c$$

其中：
$$v_c=(v_r{)}^T,M_c=(M_r{)}^T=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n{)}^T=({\alpha }_1^T,{\alpha }_2^T,\cdots ,{\alpha }_n^T)$$

五、结语

点坐标与矩阵的乘法从线性组合的角度看，就是：

1. 矩阵是一组基；
2. 点坐标是点在这组基上的组合系数；

在三维空间中，可以进一步理解为：

1. 一组基就是一个局部空间坐标系，每一个基就是坐标轴向量；
2. 点坐标就是各坐标轴的分量；
3. 坐标与矩阵相乘是坐标轴向量的线性组合。

使用向量（基，坐标轴向量）来认识矩阵，把握了空间的本质，坐标是各分量在基上的度量，它反映了相对于基向量的线性相关度。