拓扑排序(完整案列及C语言完整代码实现)

写在前面：博主是一位普普通通的19届双非软工在读生，平时最大的爱好就是听听歌，逛逛B站。博主很喜欢的一句话花开堪折直须折，莫待无花空折枝：博主的理解是头一次为人，就应该做自己想做的事，做自己不后悔的事，做自己以后不会留有遗憾的事，做自己觉得有意义的事，不浪费这大好的青春年华。博主写博客目的是记录所学到的知识并方便自己复习，在记录知识的同时获得部分浏览量，得到更多人的认可，满足小小的成就感，同时在写博客的途中结交更多志同道合的朋友，让自己在技术的路上并不孤单。

目录:
1.全序和偏序
2.拓扑排序的方法
3.拓扑排序C语言完整代码实现
4.拓扑排序小结

1.全序和偏序

拓扑排序指的是将有向无环图（又称“DAG”图）中的顶点按照图中指定的先后顺序进行排序。

例如，上图 中的两个图都是有向无环图，都可以使用拓扑排序对图中的顶点进行排序，两个图形的区别是：左图中的 V2 和 V3之间没有明确的前后顺序；而右图中任意两个顶点之间都有前后顺序。

所以，左图中顶点之间的关系被称为“偏序”关系；右图中顶点之间的关系被称为”全序“关系。全序是偏序的一种特殊情况。对于任意一个有向无环图来说，通过拓扑排序得到的序列首先一定是偏序，如果任意两个顶点都具有前后顺序，那么此序列是全序。

2.拓扑排序的方法

对有向无环图进行拓扑排序，只需要遵循两个原则：

1. 在图中选择一个没有前驱的顶点 V；
2. 从图中删除顶点 V 和所有以该顶点为尾的弧

上面左图拓扑排序如下：

对于此图来说，拓扑排序有两种：

1.V1 -> V2 -> V3 -> V4
2.V1 -> V3 -> V2 -> V4
如果顶点之间只是具有偏序关系，那么拓扑排序的结果肯定不唯一；如果顶点之间是全序关系，那么拓扑排序得到的序列唯一

有向无环图如果顶点本身具有某种实际意义，例如用有向无环图表示大学期间所学习的全部课程，每个顶点都表示一门课程，有向边表示课程学习的先后次序，例如要先学《程序设计基础》和《离散数学》，然后才能学习《数据结构》。所以用来表示某种活动间的优先关系的有向图简称为“AOV 网”。

3.拓扑排序C语言完整代码实现

在编写程序解决拓扑排序的问题时，大致思路为：首先通过邻接表将 AOV 网进行存储，由于拓扑排序的整个过程中，都是以顶 点的入度为依据进行排序，所以需要根据建立的邻接表统计出各顶点的入度。 在得到各顶点的入度后，首先找到入度为 0 的顶点作为拓扑排序的起始点，然后查找以该顶点为起始点的所有顶点，如果入度 为 1，说明如果删除前一个顶点后，该顶点的入度为 0，为拓扑排序的下一个对象

#include 
#include 
#define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数
#define VertexType int//顶点数据的类型
typedef enum{false,true} bool;
typedef struct ArcNode{
   int adjvex;//邻接点在数组中的位置下标
   struct ArcNode * nextarc;//指向下一个邻接点的指针
}ArcNode;
typedef struct VNode{
   VertexType data;//顶点的数据域
   ArcNode * firstarc;//指向邻接点的指针
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//存储各链表头结点的数组
typedef struct {
   AdjList vertices;//图中顶点及各邻接点数组
   int vexnum,arcnum;//记录图中顶点数和边或弧数
}ALGraph;
//找到顶点对应在邻接表数组中的位置下标
int LocateVex(ALGraph G,VertexType u){
   for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
    if (G.vertices[i].data==u) {
     return i;
    }
   }return -1;
}
//创建 AOV 网，构建邻接表
void CreateAOV(ALGraph **G){
   *G=(ALGraph*)malloc(sizeof(ALGraph)); 
    scanf("%d,%d",&((*G)->vexnum),&((*G)->arcnum));
    for (int i=0; i<(*G)->vexnum; i++) {
     scanf("%d",&((*G)->vertices[i].data));
     (*G)->vertices[i].firstarc=NULL;
    }
     VertexType initial,end;
    for (int i=0; i<(*G)->arcnum; i++) { 
      scanf("%d,%d",&initial,&end);
       ArcNode *p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
       p->adjvex=LocateVex(*(*G), end);
       p->nextarc=NULL;
       int locate=LocateVex(*(*G), initial);
       p->nextarc=(*G)->vertices[locate].firstarc;
    (*G)->vertices[locate].firstarc=p;
   }
}
//结构体定义栈结构
typedef struct stack{
    VertexType data; 
    struct stack * next;
}stack;
//初始化栈结构
void initStack(stack* *S){
(*S)=(stack*)malloc(sizeof(stack));
(*S)->next=NULL;
}
//判断链表是否为空
bool StackEmpty(stack S){
  if (S.next==NULL) { return true;
  }return false;
}
//进栈，以头插法将新结点插入到链表中
void push(stack *S,VertexType u){
    stack *p=(stack*)malloc(sizeof(stack));
    p->data=u;
    p->next=NULL;
    p->next=S->next;
    S->next=p;
}
//弹栈函数，删除链表首元结点的同时，释放该空间，并将该结点中的数据域通过地址传值给变量 i; void pop(stack *S,VertexType *i){ 
   stack *p=S->next; 
   *i=p->data;
   S->next=S->next->next;
   free(p);
}
//统计各顶点的入度
void FindInDegree(ALGraph G,int indegree[]){
//初始化数组，默认初始值全部为 0
    for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
    indegree[i]=0;
   }
//遍历邻接表，根据各链表中结点的数据域存储的各顶点位置下标，在 indegree 数组相应位置+1
   for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
    ArcNode *p=G.vertices[i].firstarc; 
    while (p) {
    indegree[p->adjvex]++;
    p=p->nextarc;
    }
}
}
void TopologicalSort(ALGraph G){
   int indegree[G.vexnum];//创建记录各顶点入度的数组
   FindInDegree(G,indegree);//统计各顶点的入度
//建立栈结构，程序中使用的是链表
   stack *S;
   initStack(&S);
//查找度为 0 的顶点，作为起始点
   for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {
    if (!indegree[i]) {
     push(S, i);
   }
  }
   int count=0;
//当栈为空，说明排序完成
   while (!StackEmpty(*S)) {
   int index;
//弹栈，并记录栈中保存的顶点所在邻接表数组中的位置
   pop(S,&index);
   printf("%d",G.vertices[index].data);
   ++count;
//依次查找跟该顶点相链接的顶点，如果初始入度为 1，当删除前一个顶点后，该顶点入度为 0
   for (ArcNode *p=G.vertices[index].firstarc; p; p=p->nextarc) {
     VertexType k=p->adjvex;
     if (!(--indegree[k])) {
 //顶点入度为 0，入栈
      push(S, k);
    }
  }
 }
//如果 count 值小于顶点数量，表明该有向图有环
   if (count<G.vexnum) {
    printf("该图有回路"); return;
   }
}
int main(){
   ALGraph *G;
   CreateAOV(&G);//创建 AOV 网
   TopologicalSort(*G);//进行拓扑排序
   return 0;
}

对于下面例子

进行拓扑排序：

//输入
6,8
1
2
3
4
5
6
1,2
1,4
1,3
3,2
3,5
4,5
6,4
6,5
//输出
6 1 4 3 2 5

4.拓扑排序小结

对于含有n个顶点和e条边的有向图而言，建立求各个顶点的入度的时间复杂度为O(e);建立0入度顶点栈的时间复杂度为O(n),在拓扑排序中若有向图无环，则每个顶点进一次栈出一次栈，所以总的时间复杂度为O(n+e)