leetcode 322. 零钱兑换【背包问题】

题目链接：322. 零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

程序说明：

一开始当成贪心来做了，结果答案不对。比如coins = [83,186,408,419]，amount = 6249这组样例，最优解是20，但贪心得到的结果是-1。可以转化成背包问题来做。（类似于完全背包）

设f[i][j]为使用前 i 个面值，总价值等于 j 的最小方案数。那么可以得到状态转移方程为：
f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1 * v[i]] + 1, f[i - 1][j - 2 * v[i] + 2, …, f[i - 1][j - k * v[i]] + k)。
v[i]即coins[i]。

上式变形可得：
f[i][j - k] = min(f[i - 1][j - k], f[i - 1][j - 2 * v[i]] + 1, f[i - 1][j - 3 * v[i] + 2, …, f[i - 1][j - k * v[i]] + k - 1)。

合并得：
f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + 1)。

代码如下：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int INF = 0x3f3f3f3f;
        int len = coins.length;
        int[][] f = new int[len + 1][amount + 1];
        
        for(int i = 0; i <= len; i++)
            for(int j = 0; j <= amount; j++)
                f[i][j] = INF;
        f[0][0] = 0;

        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            for(int j = 0; j <= amount; j++) {
                f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j], f[i][j]);
                if(coins[i - 1] <= j)
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][j - coins[i - 1]] + 1);
            }
        }
        if(f[len][amount] == 0x3f3f3f3f)
            return -1;
        else 
            return f[len][amount];
    }
}

优化为一维背包：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int INF = 0x3f3f3f3f;
        int len = coins.length;
        int[] f = new int[amount + 1];     
        for(int j = 0; j <= amount; j++)
            f[j] = INF;
        f[0] = 0;

        for(int i = 1; i <= len; i++)
            for(int j = coins[i - 1]; j <= amount; j++)
                f[j] = Math.min(f[j], f[j - coins[i - 1]] + 1);

        if(f[amount] == 0x3f3f3f3f)
            return -1;
        else 
            return f[amount];
    }
}