数据库原理闭包、范式和求最小函数依赖集的例题

闭包

1. 已知关系模式R（A，B，C），F是R上成立的FD集，F={A→B，B→C}， F的闭包F+有多少个？试写出（AB）+的所有闭包。
   解：
   根据已知条件和推理规则，可知F+有43个函数依赖。各种情况如下：
   
   答：F的闭包F+有43个；(AB)的闭包(AB)+ =ABC

2. 设关系R（ABCDE）上FD集为F，并且F={A→BC，CD→E，B→D，E→A}。求出R的所有候选键。
   解：A+=ABCDE B+=BD C+=C D+=D E+=EABCD 候选码有A、E。
          对剩下的B 、C、D进行组合:
          可以求出：BC+=ABCDE BD+=BD CD+=ABCDE
          BC、CD也为候选码
          所以R的候选键有四个：A、E、BC和CD。

3. R,
   U={A,B,C,D,E,G}
   F{AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}
   X=BD,求X+,并判断BD->A是否成立？
   解：
   因为X=BD 所以X+=(BD)+;
   因为D→EG
   所以BD→BDEG
   因为BE→C
   所以BD→BCDEG
   因为C→A
   所以BD→ABCDEG
   所以（BD）+=ABCDEG
   所以 X+=ABCDEG
   因为（BD）+=ABCDEG，A属于（BD）+
   所以BD->A是成立的。

范式

1. 给定一个学校的学生选课系统，为了方便起见，我们只确定了以下需要的内容：
   R(学号、学生姓名、年龄、性别、课程名称、课程学分、系别、学科成绩、系办地址、系办电话)
   首先判断它是几范式？如何把它规范化成3NF?
   解：
   范式首先要找主码：（学号，课程名称）
   学号单独决定学生姓名，所以学生姓名就是部分函数依赖于主码
   所以R是1NF（第一范式）
   拆成2NF(消除部分函数依赖)：
   R1(学号、学生姓名、年龄、性别、系别、系办地址、系办电话)
   R2(学号、课程名称、课程学分、学科成绩)
   在R1中，存在学号→系别→系办地址，传递函数依赖（非第三范式）
   拆成3NF(消除传递函数依赖):
   R11(学号、学生姓名、年龄、性别、系别)
   R12(系别、系办地址、系办电话)
   R2(学号、课程名称、课程学分、学科成绩)

求最小函数依赖集

1. 给定关系模式R(A,B,C) F={A->BC,B->AC,C->A} 求F的最小函数依赖集。
   解：
   (1)将F中的函数依赖进行拆分：
   F={A->B,A->C,B->A,B->C,C->A}
   (2)假设A->B冗余(去掉A->B)
   剩下：F={A->C,B->A,B->C,C->A}
   A+=AC
   但是B不属于AC,也就是不属于A的闭包，留下
   (3)假设A->C冗余
   剩下：F={A->B,B->A,B->C,C->A}
   A+=ABC
   C属于A的闭包，所以删除
   (4)删除后F={A->B,B->A,B->C,C->A}
   假设B->A冗余
   F={A->B,B->C,C->A}
   B+＝ABC 删除
   (5)删除后F={A->B,B->C,C->A}
   假设B->C冗余
   F={A->B,C->A}
   B+＝B 留下
   (6)假设C->A冗余
   F={A->B,B->C}
   C+=C A不属于C的闭包 留下
   所以F的最小函数依赖集为：{A->B,B->C,C->A}