教你轻松计算AOE网关键路径
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认识AOE网
有向图中，用顶点表示活动，用有向边表示活动之间开始的先后顺序，则称这种有向图为AOV网络；AOV网络可以反应任务完成的先后顺序（拓扑排序）。
在AOV网的边上加上权值表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV网为AOE网，如下图：
图中，顶点表示事件（能被触发，两特征属性：最早发生时间Ve(j);最晚发生时间Vl(j)），边表示活动（能被开始，两特征属性：最早开始时间e(i)；最晚开始时间l(i)），权表示活动持续时间，通常用AOE网来估算工程完成的时间
两条原则：
Ø 只有某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始
Ø 只有进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生
计算关键路径
首先，在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径为关键路径。
计算关键路径，只需求出上面的四个特征属性，然后取e(i)=l(i)的边即为关键路径上的边（关键路径可能不止一条）。
先来看看四个特征属性的含义：
Ø Ve(j)：是指从始点开始到顶点Vk的最大路径长度
计算技巧：
(1)从前向后，取大值：直接前驱结点的Ｖe(j)＋到达边（指向顶点的边）的权值，有多个值的取较大者
(2)首结点Ve(j)已知，为0
如上图各顶点（事件）的Ve(j)： （从V1开始）
V1 :天然是0
V2：a1边 3
V3：a3边 2
V4：分三种情况①a1 + a5 = 5 ②a2 = 6 ③a3 + a6 = 3 取最大者
V5：........
V6：........
Ø Vl(j)：在不推迟整个工期的前提下，事件vk允许的最晚发生时间
计算技巧：
(1)从后向前，取小值：直接后继结点的Ｖl(j) –发出边（从顶点发出的边）的权值，有多个值的取较小者;
(2)终结点Vl(j)已知，等于它的Ve(j)）
如上图各顶点（事件）的Vl(j)： （从V7开始,它的最早、最晚发生时间相同,都为10）：
V7：天然等于最大路径长度 10
V6：由V7 = 10 有 10 - a10 = 6
V5：由V7 = 10 有10 - a9 = 7
V4:由V5 = 7 有7 - a8 = 6
V3：有两个后继 V4和V6，所以分两种情况①V4 - a6 = 5 ②V6 - a7 = 3 取最小者， 所以V3 = 3
V2：........
Ø e(i): 若活动ai由弧
如上图各边（活动）的e(i)：
活动发生最早时间看的是活动边的前驱节点
a1 a2 a3 前驱节点都是V1 然后从第一个图中，即最早发生事件中取值 a1= 0 a2 = 0 a3 = 0
a4 前驱节点是V2 所以有a4 = 3
a5.....
a6......
Ø l(i): 若活动ai由弧
如上图各边（活动）的l(i)：
活动的最晚发生时间 等于事件的最晚发生时间（第二个图）减去活动边
即活动边的后继，去图2中找，然后减去活动边
a4活动边后继是V5 由最晚发生事件得 V5 - a4 = 7 - 4 = 3
至此已介绍完了四个特征属性的求法，也求出了上图中边的e(i)和l(i),取出e(i)=l(i)的边为a1、a2、a4、a8、a9，即为关键路径上的边，所以关键路径有两条：a1 a4 a9和 a2 a8 a9
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第二个例子对比一下
（最早发生，从前往后算；最迟发生，从后往前算。）
总结
求关键路径，只需理解顶点（事件）和边（活动）各自的两个特征属性以及求法即可：
Ø 先根据首结点的Ve(j)=0由前向后计算各顶点的最早发生时间
Ø 再根据终结点的Vl(j)等于它的Ve(j)由后向前依次求解各顶点的最晚发生时间
Ø 根据边的e(i)等于它的发出顶点的Ve(j)计算各边的最早开始时间（最早开始，对应最早发生）
Ø 根据边的l(i)等于它的到达顶点的Vl(j)减去边的权值计算各边的最晚开始时间（最晚开始，对应最晚发生）