K近邻算法（kNN）学习——kd树

    之前做机器学习相关实验的时候就使用过K近邻（kNN）算法，但是那时只是停留在简单的了解阶段，并没有对该算法深层次的原理进行研究，最近我通过学习《统计学习方法》一书，对kNN算法有了深入的理解，下面我将结合自己的学习总结一下kNN相关的内容：

一、kNN算法的简介

    kNN算法是一种基本的分类与回归方法，其基本原理是：给定一个训练数据集，对新输入实例，在训练数据集中找到与该实例最近邻的K个实例，这k个实例的多数属于某个类别，就把该输入实例分为这个类别。
    k-NN算法的三要素是：距离度量、k值的选择、分类规则。常用的距离度量是欧式距离以及更一般的 Lp 距离。k值小时，k近邻模型更复杂；k值大时，k近邻模型更简单。k值的选择反映了对近似误差与评估误差之间的权衡，通常由交叉验证方法来选择最优的k。常用的分类决策规则是多数表决，对应于经验风险最小化。
    在k-NN算法中，当训练集、距离度量、k值以及分类规则确定后，其结果是唯一确定的。

二、kNN算法的实现：kd树

    kd树是一中便于对k维空间中的数据进行快速搜索的数据结构（注意，k不是k个邻居的意思）。kd树是一种二叉树，表示对k维空间的一个划分，其每个节点对应于k维空间划分中的一个超矩形区域。利用kd树可以省去对绝大部分数据的搜索，从而减少搜索的计算量。

1.kd树的构造

    构造kd树的过程我自己总结了一个口诀就是：“选择中位数，一横一竖”
    构造平衡kd树算法
    输入：k维空间数据集 T={x1,x2,...,xN} ,其中 xi=(x(1)i,x(2)i,...,x(k)i) ， i=1,2...,N;
    输出kd树。
    （1）分别基于输入的数据集，计算k维数据中方差最大的一维（也可以依次分割每一维度），为了便于介绍，本算法以依次分割每一维度进行的，所以选择 x(1) 为分割坐标轴；
    （2）选择 x(1) 为分割坐标轴，以T中所有实例的 x(1) 坐标的中位数为切割点，将根节点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴 x(1) 垂直的超平面实现。
    由根节点生成深度为1的左、右子节点：左子节点对应坐标 x(1) 小于切分点的子区域，右子节点对应于坐标 x(1) 大于切分点的子区域。
    （3）重复步骤（2），对于深度为j的节点，选择 x(l) 为切分点的坐标轴， l=j(modk)+1 ，以该节点的区域切中所有实例的 x(l) 的中位数为切分点，将该节点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴 x(l) 垂直的超矩形实现。
    （4）停止条件：直到两个子区域内没有实例存在时停止。
    举例：
    假设有6个二维数据点 {（2,3）,（5,4），（9,6），（4,7），（8,1），（7,2）} ，数据点位于二维空间内，如图1：
    a）依次分割每一维度，因此先分割x轴；
    b）根据x轴方向的值2,5,9,4,8,7排序选出中值为7，所以以（7,2）为分割点。这样，该节点的分割超平面就是通过（7,2）并垂直于x轴的直线x = 7；
    c）确定左子空间（x <= 7的部分）和右子空间（x > 7的部分）进行上面两步递归操作直到空间中只包含一个数据点。最后生成的kd树对应的空间划分为图1，kd树如图2。

图1 kd树对应的空间划分



图2 kd树示例

2.kd树的最近邻搜索

    给定一个目标点，搜索其最近邻，首先找到包含目标点的叶节点，然后从该叶节点出发，依次退回到其父节点，不断查找是否存在比当前最近点更近的点，直到退回到根节点时终止，获得目标点的最近邻点。如果按照流程可描述如下：
    1. 从根节点出发，若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子节点，反之则移动到右子节点，直到移动到最后一层叶节点。
    2. 以此叶结点为“当前最近点”
    3. 递归的向上回退，在每个节点进行如下的操作：
    a.如果该节点保存的实例点距离比当前最近点更小，则该点作为新的“当前最近点”
    b.检查“当前最近点”的父节点的另一子节点对应的区域是否存在更近的点，如果存在，则移动到该点，接着，递归地进行最近邻搜索。如果不存在，则继续向上回退
    4. 当回到根节点时，搜索结束，获得最近邻点
    以上kd树的最近邻搜索分析，即k=1时的情况。当k>1时，在搜索时“当前最近点”中保存的点个数<=k的即可。
    相比于线性扫描，kd树搜索的平均计算复杂度为O(logN).但是当样本空间维数接近样本数时，它的效率会迅速降低，并接近线性扫描的速度。因此kd树搜索适合用在训练实例数远大于样本空间维数的情况