PCA(主成分分析方法)

 

目录

1. 降维问题

2. 向量与基变换

2.1 内积与投影

2.2 基

2.3 基变换的矩阵

3. 协方差矩阵及优化目标

3.1 方差

3.2 协方差

3.3 协方差矩阵

3.4 协方差矩阵对角化

4. 算法与实例

4.1 PCA算法

4.2 实例

5. 讨论

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      PCA（Principal Component Analysis）是常用的数据分析方法。PCA是通过线性变换，将原始数据变换为一组各维度线性无关的数据表示方法，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。

1. 降维问题

      数据挖掘和机器学习中，数据以向量表示。例如某个淘宝店2012年全年的流量及交易情况可以看成一组记录的集合，其中每一天的数据是一条记录，格式如下：

                          (日期, 浏览量, 访客数, 下单数, 成交数, 成交金额)

其中“日期”是一个记录标志而非度量值，而数据挖掘关心的大多是度量值，因此如果我们忽略日期这个字段后，我们得到一组记录，每条记录可以被表示为一个五维向量，其中一条样本如下所示： 

                          

一般习惯上使用列向量表示一条记录，本文后面也会遵循这个准则。

      机器学习的很多算法复杂度和数据的维数有着密切关系，甚至与维数呈指数级关联。这里区区5维的数据，也许无所谓，但是实际机器学习中处理成千上万甚至几十万维的数据也并不罕见，在这种情况下，机器学习的资源消耗是不可接受的，因此就会对数据采取降维的操作。降维就意味着信息的丢失，不过鉴于实际数据本身常常存在相关性，所以在降维时想办法降低信息的损失。

       例如上面淘宝店铺的数据，从经验可知，“浏览量”和“访客数”往往具有较强的相关性，而“下单数”和“成交数”也具有较强的相关性。可以直观理解为“当某一天这个店铺的浏览量较高（或较低）时，我们应该很大程度上认为这天的访客数也较高（或较低）”。因此，如果删除浏览量或访客数，最终并不会丢失太多信息，从而降低数据的维度，也就是所谓的降维操作。如果把数据降维用数学来分析讨论，用专业名词表示就是PCA，这是一种具有严格数学基础并且已被广泛采用的降维方法。

2. 向量与基变换

2.1 内积与投影

      两个大小相同向量的内积被定义如下：

                              

      

2.2 基

       在代数中，经常用线段终点的点坐标表示向量。假设某个向量的坐标为(3,2)，这里的3实际表示的是向量在x轴上的投影值是3，在y轴上的投影值是2。也就是说隐式引入了一个定义：以x轴和y轴上正方向长度为1的向量为标准。那么一个向量(3,2)实际是在x轴投影为3而y轴的投影为2。注意投影是一个矢量，可以为负。向量(x, y)实际上表示线性组合：

                                               

由上面的表示，可以得到所有二维向量都可以表示为这样的线性组合。此处(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基。

                               

      之所以默认选择(1,0)和(0,1)为基，当然是为了方便，因为它们分别是x和y轴正方向上的单位向量，因此就使得二维平面上点坐标和向量一一对应。但实际上任何两个线性无关的二维向量都可以成为一组基，所谓线性无关在二维平面内，从直观上就是两个不在一条直线的向量。

      例如，(1,1)和(-1,1)也可以成为一组基。一般来希望基的模是1，因为从内积的意义可以看到，如果基的模是1，那么就可以方便的用向量点乘基而直接获得其在新基上的坐标。实际上，对应任何一个向量我们总可以找到其同方向上模为1的向量，只要让两个分量分别除以模，则上面的基变为。于是坐标(3,2)在新的基上的坐标为，其中计算的过程是用坐标(3,2)分别与两个基做内积。

                                

       另外这里的基是正交的（即内积为0，或直观说相互垂直），可以成为一组基的唯一要求就是线性无关，非正交的基也是可以的。不过因为正交基有较好的性质，所以一般使用的基都是正交的。

2.3 基变换的矩阵

     上述例子中的基变换，可以采用矩阵的乘法来表示，即

                                         

      如果推广一下，假设有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果，通过矩阵相乘表示为：

                           

其中是一个行向量表示第i个基，是一个列向量表示第i个原始数据记录。特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。也就是说，将N维数据变换到更低维度的空间中，变换后的维度取决于基的数量。

最后，矩阵的乘法运算的物理解释：两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去。

3. 协方差矩阵及优化目标

      在进行数据降维的时候，关键的问题是如何判定选择的基是最优。也就是选择最优基是最大程度的保证原始数据的特征。这里假设有5条数据为

                                           

计算每一行的平均值，然后再让每一行减去得到的平均值，得到

                                             

通过坐标的形式表现矩阵，得到的图如下：

                                   

      那么现在的问题是：用一维向量来表示这些数据，又希望尽量保留原有的信息，该如何选择呢？这个问题实际上是要在二维平面中选择一个方向的向量，将所有数据点都投影到这条直线上，用投影的值表示原始记录，即二维降到一维的问题。那么如何选择这个方向（或者说基）才能尽量保留最多的原始信息呢？一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散。

3.1 方差

上述问题是希望投影后投影的值尽可能在一个方向上分散，而这种分散程度，可以采用数学上的方差来表述，即：

                                  

于是上面的问题被形式化表述为：寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标后，方差值最大。

3.2 协方差

数学上可以用两个特征的协方差表示其相关性，即：

                               

当协方差为0时，表示两个特征完全独立。为了让协方差为0，选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。

至此获得降维问题的优化目标：将一组N维向量降为K维（K

3.3 协方差矩阵

假设只有x和y两个字段，将它们按行组成矩阵，其中是通过中心化的矩阵，也就是每条字段减去每条字段的平均值得到的矩阵：

                                        

然后用乘以的转置，并乘上系数：

                               

于是得到矩阵，其中对角线上的值正好是两个字段的方差，而其他值便是两个字段的协方差。如果把上面换成的矩阵，则字段就变成个。

3.4 协方差矩阵对角化

4. 算法与实例

4.1 PCA算法

4.2 实例

                                

5. 讨论

根据上面对PCA的数学原理的解释，可以了解到一些PCA的能力和限制。PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。

因此，PCA也存在一些限制，例如它可以很好的解除线性相关，但是对于高阶相关性就没有办法了，对于存在高阶相关性的数据，可以考虑Kernel PCA，通过Kernel函数将非线性相关转为线性相关。另外，PCA假设数据各主特征是分布在正交方向上，如果在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA的效果就大打折扣了。

最后需要说明的是，PCA是一种无参数技术，也就是说面对同样的数据，如果不考虑清洗，谁来做结果都一样，没有主观参数的介入，所以PCA便于通用实现，但是本身无法个性化的优化。