kaldi中基于决策树的状态绑定
为什么要做状态绑定
假如我们有218monophone，然后现在要考虑上下文音素对发音的影响，这时候我们通常使用triphone。那么会有几个triphone呢？答案是218的3次方。如果不进行聚类，我们需要建立(218的3次方)*3个混合gmm模型(假设每个triphone有3个状态)，计算量巨大,另一方面会引起数据稀疏。所以通常我们会根据数据特征对triphone的状态进行绑定。
常见的状态绑定方法有数据驱动聚类(Data-Driven Clustering)和决策树聚类(Tree-Based Clustering)。
数据驱动聚类的方式缺点引用HTK book中的表述：
One limitation of the data-driven clustering procedure described above is that it does not deal with triphones for which there are no examples in the training data. When building word-internal triphone systems, this problem can often be avoided by careful design of the training database but when building large vocabulary cross-word triphone systems unseen triphones are unavoidable.
所以现在基本上是使用决策树聚类的方式。
kaldi中基于决策树的状态绑定
要建立一颗决策树，我们首先要有问题集。*在HTK中，问题集是我们人工自己定义的。而在kaldi中，问题集是通过训练数据自动生成的。
1、怎么自动生成问题集？
我们先引入一个概念：EventType，表示三音素的某个状态。比如三音素a/b/c的状态0就是一个EventType。为了方便说明，这里我们认为的使用这种表示方法：{a b c 0}。
一、先得到统计量：EventType的出现次数count_，特征向量的均值和均值的平方(至于为什么需要这些统计量，后面生成问题集的时候回解释)
在得到统计量之前，我们需要对每个句子进行维特比强制对齐(kaldi中的格式如下)：
有了强制对齐结果，我们就可以得到每一帧是属于哪个EventType(上面的数字在kaldi中表示transition-id，根据transition-id可以得到三音素及其对应的状态)。然后我们就可以用这个EventType的所有帧对应的特征(比如MFCC)来得到这个EventType的统计量(出现次数count_，特征向量的均值和均值的平方)。
kaldi中统计量的结果保存在treeacc文件中，如下：
简单解释下这个图的格式：
BTS 35930表示训练集中出现过的三音素个数。
EV 4 -1 0 0 0 1 29 2 134就是一个EventType，4表示后面有4对pair。-1 0 0 0 1 29 2 134表示该三音素是0/29/134(这些数字是phone的id)的第1个hmm状态。
GCL 1表示该EventType出现的次数(对应count_变量)； 0.01表示方差如果有小于0.01，则等于0.01。
接下来的一行 表示特征向量的均值
在接下来的一行 表示特征向量的均值的平方 图中0.577325就是-0.759819的平方
二、构造问题集
为了清楚地说明问题集的构建过程，我们假设现在有如下三音素及其hmm状态（假设特征是2维的，实际多用39维的mfcc；统计量:出现次数，均值和方差，也是假设的,不过不影响问题的说明）：
{d a g 0} count:3 mean:4,3 square:16,9
{d a g 1} count:1 mean:2,3 square:4,9
{d a g 2} count:2 mean:4,4 square:16,16
{a b c 0} count:1 mean:1,2 square:1,4
{a b c 1} count:1 mean:1,3 square:1,9
{a b c 2} count:2 mean:1,4 square:1,16
{d b a 0} count:3 mean:2,1 square:4,1
{d b a 1} count:2 mean:3,1 square:9,1
{d b a 2} count:2 mean:2,1 square:4,1
{f b c 0} count:2 mean:1,3 square:1,9
{f b c 1} count:4 mean:1,4 square:1,16
{f b c 2} count:6 mean:1,5 square:1,25
{m c a 0} count:5 mean:3,1 square:9,1
{m c a 1} count:5 mean:3,2 square:9,4
{m c a 2} count:3 mean:3,3 square:9,9
{z c d 0} count:4 mean:3,4 square:9,16
{z c d 1} count:5 mean:3,5 square:9,25
{z c d 2} count:3 mean:3,6 square:16,36
{p d h 0} count:5 mean:4,6 square:9,36
{p d h 1} count:2 mean:3,5 square:9,25
{p d h 2} count:3 mean:3,6 square:9,36
{k e n 0} count:1 mean:5,2 square:25,4
{k e n 1} count:8 mean:5,3 square:25,9
{k e n 2} count:3 mean:5,5 square:25,25
{m f k 0} count:7 mean:4,8 square:16,64
{m f k 1} count:4 mean:4,4 square:16,16
{m f k 2} count:1 mean:7,4 square:49,16
- 选取三音素第2个hmm状态的统计量，其余的状态扔掉，经过这一步之后，我们剩下的音素就变成了：
{d a g 1} count:1 mean:4,3 square:16,9
{a b c 1} count:1 mean:1,3 square:1,9
{d b a 1} count:2 mean:2,1 square:4,1
{f b c 1} count:4 mean:1,4 square:1,16
{m c a 1} count:5 mean:3,2 square:9,4
{z c d 1} count:5 mean:3,5 square:9,25
{p d h 1} count:2 mean:3,6 square:9,36
{k e n 1} count:8 mean:5,3 square:25,9
{m f k 1} count:4 mean:4,4 square:16,16
- 根据三音素的中间音素对前一步得到的统计量进行划分：
中间音素a: {d a g 1} count:1 mean:4,3 square:16,9
中间音素b: {a b c 1} count:1 mean:1,3 square:1,9 {d b a 2} count:2 mean:2,1 square:4,1 {f b c 1} count:4 mean:1,4 square:1,16
中间音素c: {m c a 1} count:5 mean:3,2 square:9,4 {z c d 2} count:5 mean:3,5 square:9,25
中间音素d: {p d h 1} count:2 mean:3,6 square:9,36
中间音素e: {k e n 1} count:8 mean:5,3 square:25,9
中间音素f: {m f k 1} count:4 mean:4,4 square:16,16
- 把中间音素相同的统计量相加:
中间音素a的统计量：count:1 mean:4,3 square:16,9
中间音素b的统计量：count:7 mean:4,8 square:6,26
中间音素c的统计量：count:10 mean:6,7 square:18,29
中间音素d的统计量：count:2 mean:3,6 square:9,36
中间音素e的统计量：count:8 mean:5,3 square:25,9
中间音素f的统计量：count:4 mean:4,4 square:16,16
- 根据sets.int指定的集合，累加同一个集合中音素的统计量：
假设我们的set.int是这样的格式：
a
b
c
d
e
f
那么我们最后得到的统计量还是：
中间音素a的统计量：count:1 mean:4,3 square:16,9
中间音素b的统计量：count:7 mean:4,8 square:6,26
中间音素c的统计量：count:10 mean:6,7 square:18,29
中间音素d的统计量：count:2 mean:3,6 square:9,36
中间音素e的统计量：count:8 mean:5,3 square:25,9
中间音素f的统计量：count:4 mean:4,4 square:16,16
- 构建决策树，得到问题集
首先我们将上面第四步得到的所有音素及其统计量放到树的根节点。然后根据如下公式(《Tree-Based State Tying For High Accuracy Acoustic Modelling》)得到最大似然提升对应的划分，对节点进行分裂。
不断地递归进行节点分裂，我们就可以得到一颗决策树，如下：
注意，这里是把除根节点以外的所有节点都看做是问题集！！！
kaldi中生成的问题集存储在questions.int文件中，格式如下：
上图中的一行就对应一个问题，也是一系列phone组成的集合。
- 对hmm state以及三音素位置进行提问
第5步我们已经得到了问题集，那么现在需要对不同的hmm state和三音素位置进行提问。在kaldi中，提问的格式如下：
-1 4 [ 0 ]
[ 0 1 ]
[ 0 1 2 ]
[ 0 1 2 3 ]
0 2
：-1:表示对hmm-state提问 ；0: 表示对左边的音素提问；1: 表示对中间的音素提问；2: 表示对右边的音素提问。
4: 对于hmm-state的提问，总共有4个问题。中括号[]的内容即代表问题。比如[0]就表示的“当前三音素的hmm状态是0吗?”这个问题；[ 0 1 ]表示的“当前三音素的hmm状态是0或1吗?”这个问题。
: 第一个数字代表num-iters-refine(Number of iters of refining questions at each node.) 第二个数字代表top_n(用k-means算法时，对于每一个point,计算离他最近的top_n个clusters)
有了问题集，怎么构建决策树呢？
同理，下面是对三音素的左音素进行提问(比如当前三音素的左边音素是{p,m,n}中的其中一个吗?)：
0 438 [ 1 ]
[ 2 21 23 65 66 67 68 69 75 76 77 78 79 80 81 83 84 155 157 159 209 ]
[ 2 65 66 67 68 69 155 157 159 ]
[ 2 155 157 159 ]
[ 2 159 ]
… … …
下面对三音素的中间音素进行提问(比如当前三音素的中间音素是{a,b,c}中的其中一个吗?)：
ps:中括号中的数字是音素的编号
1 438 [ 1 ]
[ 2 21 23 65 66 67 68 69 75 76 77 78 79 80 81 83 84 155 157 159 209 ]
[ 2 65 66 67 68 69 155 157 159 ]
[ 2 155 157 159 ]
[ 2 159 ]
… … …
下面对三音素的右音素进行提问(比如当前三音素的右边音素是{g,d,e}中的其中一个吗?)：
2 438 [ 1 ]
[ 2 21 23 65 66 67 68 69 75 76 77 78 79 80 81 83 84 155 157 159 209 ]
[ 2 65 66 67 68 69 155 157 159 ]
[ 2 155 157 159 ]
[ 2 159 ]
… … …
kaldi中，对于三音素的位置进行提问时，可选的问题集都是一样的(如上图，都是438个问题)，都是来自第5步得到的问题集。
截止到当前，我们已经得到了三音素不同位置以及hmm state对应的可选的问题集。接下来我们需要从这些问题集中选取一些比较”好“的问题，对每个音素的每个hmm state建立一颗属于他们自己的决策树，从而达到状态绑定的目的。
2、有了问题集，怎么构建决策树？
- 确定需要建立几颗决策树
在建立决策数之前我们需要读取roots文件。该文件包含有两组关键词
第一组：shared or not-shared 表示对一个音素的3(或5)个hmm state分别建立3颗不同的决策树，还是所有hmm state共享一颗决策树树根。
第二组：split or not-split 表示是否需要对该音素对应的决策树进行分裂，如果不进行分裂，该决策树就只有一个树根。
一个典型的roots文件形式如下：
shared split 1
shared split 2
shared split 3
shared split 4
shared split 5
shared split 6
shared split 7
shared split 8
shared split 9
shared split 10
shared split 11
shared split 12
shared split 13
shared split 14
… … …
上面的数字是音素的编号。假设我们有218个音素，每个音素有3个hmm state。根据这个roots文件，那么我们就需要建立218颗决策树(而不是218*3，因为shared，即同一个音素的不同hmm state共享用一颗决策树)。
- 建立决策树
理论上我们需要建立218颗决策树，但我们把它放在一颗大的决策树下，如下图所示：
接下来需要对每一颗小决策树进行分裂，如下图所示：
实际上多个小决策树是同时进行分裂的，那么每次选取哪颗决策树的结点进行分裂呢？可以通过优先队列这样的数据结构进行调度，每次对似然度提升最大的结点进行进一步分裂。
构建完决策树后，我们还会将两两空间距离较近(如欧式距离)的叶子结点绑定在一起。最后生成的决策树如下：
这两张图其实是同一张，只是图太大了，分开截取。第一张主要展示的是决策树的前面几层，第二张主要展示的是决策树的后面几层。双圆圈就是叶子结点，对应一个混合高斯分布。
kaldi最后构建出来的树的结构如下：
ContextDependency 3 1 ToPdf TE 1 219 ( NULL SE -1 [ 0 1 ]
{ SE -1 [ 0 ] -1hmm-state [0]hmm-statepdfclass0
{ CE 0 CE 220 }
SE -1 [ 0 1 2 3 ]
{ SE -1 [ 0 1 2 ]
{ CE 218 CE 233 }
CE 219 }
}
SE -1 [ 0 1 ]
{ SE -1 [ 0 ]
{ SE 0 [ 144 149 ]
{ CE 969 SE 0 [ 29 30 123 145 217 ]
{ CE 969 SE 0 [ 7 59 124 ]
{ CE 969 SE 0 [ 7 28 31 57 58 59 117 124 138 144 149 218 ]
{ CE 1206 CE 1255 }
}
}
}
SE 2 [ 1 ]
{ CE 275 SE 0 [ 144 149 ]
{ CE 276 CE 701 }
}
}
说明：
ContextDependency 3 1表示音素宽度N_(=3)、中间音素位置P_(=1)
TE 1 219：TE表示决策树树根。1表示对中间音素进行划分，219表示划分完后总共有219个结点(实际上我们只有218个音素(1-218)，但代码中计算的是0-218，所以总共有219个结点。NULL就是0对应的结点)
SE -1 [0 1]：SE表示决策树的非叶子结点，-1表示该结点是对hmm state进行提问；[0 1]表示提的问题是”该三音素的hmm state是0或1吗“。
CE 0：CE表示决策树的叶子结点 0表示该叶子结点的编号(在kaldi中叫pdf-id)
最后还是要强调下，上面流程实际上我们做了两次的决策树建立，要注意区分：
第一次：是为了得到问题集。通过将所有音素作为决策树根节点，然后计算对音素集进行划分带来的似然度提升，不断对结点进行分裂，进而得到一系列问题集；
第二次：是为了进行状态绑定。对所有中间音素以及hmm state相同的EventType，我们从第一步得到的问题集中选出对似然度提升最大的问题，对建立一颗决策树。然后比较所有叶子结点，把两两空间距离较近(如欧式距离)的叶子结点绑定在一起，有共同的pdf-id(混合高斯函数)。