模拟退火算法系列之（二）：一个实例

为什么我的眼里常含泪水？因为我有一个算法不会。为了节约点眼泪，今天我们就来介绍著名的模拟退火算法（Simulated Annealing），它是一种基于蒙特卡洛思想设计的近似求解最优化问题的方法。

这是本系列文章的第二篇，我们通过一个实例来编程演示模拟退火的执行。特别地，我们这里所采用的实例是著名的“旅行商问题”（TSP，Traveling Salesman Problem），它是哈密尔顿回路的一个实例化问题，也是最早被提出的NP问题之一。

在你阅读本文前，希望你已经读过《模拟退火算法系列之（一）：通俗理解》一文，因为本文我们主要讨论实现上的一些策略，对于那些基本的概念并不会过多涉及。

欢迎关注白马负金羁的博客 http://blog.csdn.net/baimafujinji，为保证公式、图表得以正确显示，强烈建议你从该地址上查看原版博文。本博客主要关注方向包括：数字图像处理、算法设计与分析、数据结构、机器学习、数据挖掘、统计分析方法、自然语言处理。

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TSP是一个最常被用来解释模拟退火用法的问题，因为这个问题比较有名，我们这里不赘言重述，下面直接给出C++实现的代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

#define N     30      //城市数量
#define T     3000    //初始温度
#define EPS   1e-8    //终止温度
#define DELTA 0.98    //温度衰减率

#define LIMIT 1000   //概率选择上限
#define OLOOP 20    //外循环次数
#define ILOOP 100   //内循环次数

using namespace std;

//定义路线结构体
struct Path
{
    int citys[N];
    double len;
};

//定义城市点坐标
struct Point
{
    double x, y;
};

Path bestPath;        //记录最优路径
Point p[N];       //每个城市的坐标
double w[N][N];   //两两城市之间路径长度
int nCase;        //测试次数

double dist(Point A, Point B)
{
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(Point p[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
            w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}

void Input(Point p[], int &n)
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

void Init(int n)
{
    nCase = 0;
    bestPath.len = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        bestPath.citys[i] = i;
        if(i != n - 1)
        {
            printf("%d--->", i);
            bestPath.len += w[i][i + 1];
        }
        else
            printf("%d\n", i);
    }
    printf("\nInit path length is : %.3lf\n", bestPath.len);
    printf("-----------------------------------\n\n");
}

void Print(Path t, int n)
{
    printf("Path is : ");
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(i != n - 1)
            printf("%d-->", t.citys[i]);
        else
            printf("%d\n", t.citys[i]);
    }
    printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
    printf("-----------------------------------\n\n");
}

Path GetNext(Path p, int n)
{
    Path ans = p;
    int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    while(x == y)
    {
        x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
        y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
    }
    swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
    ans.len = 0;
    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
        ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
    cout << "nCase = " << nCase << endl;
    Print(ans, n);
    nCase++;
    return ans;
}

void SA(int n)
{
    double t = T;
    srand((unsigned)(time(NULL)));
    Path curPath = bestPath;
    Path newPath = bestPath;
    int P_L = 0;
    int P_F = 0;
    while(1)       //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
    {
        for(int i = 0; i < ILOOP; i++)    //内循环，寻找在一定温度下的最优值
        {
            newPath = GetNext(curPath, n);
            double dE = newPath.len - curPath.len;
            if(dE < 0)   //如果找到更优值，直接更新
            {
                curPath = newPath;
                P_L = 0;
                P_F = 0;
            }
            else
            {
                double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
                //如果找到比当前更差的解，以一定概率接受该解，并且这个概率会越来越小
                if(exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)
                    curPath = newPath;
                P_L++;
            }
            if(P_L > LIMIT)
            {
                P_F++;
                break;
            }
        }
        if(curPath.len < bestPath.len)
            bestPath = curPath;
        if(P_F > OLOOP || t < EPS)
            break;
        t *= DELTA;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

    freopen("TSP.data", "r", stdin);
    int n;
    Input(p, n);
    GetDist(p, n);
    Init(n);
    SA(n);
    Print(bestPath, n);
    printf("Total test times is : %d\n", nCase);
    return 0;
}

注意由于是基于蒙特卡洛的方法，所以上面代码每次得出的结果并不完全一致。你可以通过增加迭代的次数来获得一个更优的结果。

我们这里需要说明的是，在之前的文章里，我们用求最小值的例子来解释模拟退火的执行：如果新一轮的计算结果更前一轮之结果更小，那么我们就接受它，否则就以一个概率来拒绝或接受它，而这个拒绝的概率会随着温度的降低（也即是迭代次数的增加）而变大（也就是接受的概率会越来越小）。

但现在我们面对一个TSP问题，我们如何定义或者说如何获取下一轮将要被考察的哈密尔顿路径呢？在一元函数最小值的例子中，下一轮就是指向左或者向右移动一小段距离。而在TSP问题中，我们可以采用的方式其实是很多的。上面代码中GetNext()函数所采用的方式是随机交换两个城市在路径中的顺序。例如当前路径为 A->B->C->D->A，那么下一次路径就可能是A->D->C->B->A，即交换B和D。而在文献【3】中，作者采样的代码如下（我们截取一个片段，完整代码请参考原文）：

public class Tour{
    ... ...
    // Creates a random individual
    public void generateIndividual() {
        // Loop through all our destination cities and add them to our tour
        for (int cityIndex = 0; cityIndex < TourManager.numberOfCities(); cityIndex++) {
          setCity(cityIndex, TourManager.getCity(cityIndex));
        }
        // Randomly reorder the tour
        Collections.shuffle(tour);
    }
    ... ...
}

可见作者的方法是把上一轮路径做一个随机的重排（这显然也是一种策略）。

TSP.data的数据格式如下，第一行的数字表示一个有多少座城市，第2至最后一行，每行有两个数字表示，城市的坐标（平面直角坐标系）。例如：
6
20 80
16 84
23 66
62 90
11 9
35 28
最后请读者自行编译执行程序并观察分析输出的结果。

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参考文献与推荐阅读材料

【1】关于哈密尔顿问题和TSP问题请参考下面两个资料以了解更多：

• 从哈密尔顿路径谈NP问题
• William J. Cook，迷茫的旅行商：一个无处不在的计算机算法问题，人民邮电出版社，2013

【2】上面的C++代码在下面这个两个帖子中都有给出，原作者无法考证

• http://www.henufz.cn/bencandy.php?fid=151&id=1894

• http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/10019849

【3】关于TSP问题的一个Java语言实现的源码，请参考

• http://www.theprojectspot.com/tutorial-post/simulated-annealing-algorithm-for-beginners/6