2011年国赛B题论文研读

本文知识点速查

0-1规划、线性加权评价、权重确定

一、2011年美赛B题的要求

2011年美赛B题的概括如下。
试就某市（有六个区，分别为A，B，C，D，E，F）设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）①为A区各交巡警服务平台分配管辖范围，使尽量3分钟内能到达其在所管辖的范围内任意地方。②给出快速封锁A区13条交通要道的交巡警服务平台警力调度方案。③A区若新增2至5个平台，确定具体个数和位置。
（2）①针对全市主城六个区的具体情况，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。②如果有明显不合理，给出解决方案。③如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

二、建模思路和主要知识技能点

1、0-1规划

这道题第一问中的三小问都是制定最优方案。这类问题建模主要使用规划方法。提取出符合实际要求的目标函数和约束条件是非常关键的。而目标函数的选择又需要将定性的问题定量化。
这三个方案制定问题还有一个共性，第一问是说“某个节点是否划在某个平台的管辖范围里”，第二问是说“某个出口是否由某个平台的警力封锁”，第三问是说“某个节点是否设置新平台”。这类“是否”问题，应该用0-1规划。

问题	第一小问	第二小问	第三小问
目标	平均每个案件的出警时间最短	使封锁所有要道的总时间最短，即封锁要道所需时间最长的服务平台的出警时间达到最小值	①交巡警服务平台工作量尽量均衡，即各个服务平台平均每天工作强度的方差最小；②新建服务平台成本最小，即新建服务平台数量最少
约束	①每个路口节点都有至少一个管辖它的服务平台；②任一服务平台到达其所管辖的路口节点的时间小于3分钟	①每个路口节点有至少有一个对应的服务平台；②一个平台最多封锁一个路口	所有路口节点都必须满足在突发事件发生3分钟内有警力到达事发现场的要求

这个地方我想说一下第三小问，我认为这一小问的模型是有一些小错误的。第三小问的模型描述如下：（变量含义描述见原文，这里不赘述了）：

第一个约束的作用，原文是这样描述的：“所有路口节点都必须满足在突发事件发生3分钟内有警方到达事发现场的要求”。而第二个约束，原文是这样描述的：“如果在点增设服务平台，为1，否则为0。”也就是：对于任意路口节点，总存在平台使得警力可以3min内到达该节点。但是我们看一下约束一这个公式，计数变量$j$是从21开始的，于是约束条件变成了：对于任意路口节点，总存在新增平台使得警力可以3min内到达该节点。这个条件被增强了。
我觉得可以做如下修改：
（1）把第二个条件改为“如果在点在新增工作完成后，有服务平台（不管是新增的还是原有的），则为1，否则为0。”
（2）第一个条件计数变量j从1开始，即 $$\sum _{j=1}^{92}{a}_{ij}{y}_i\ge 1,i=1,2,\dots ,92$$
（3）修改$n$的定义为： $$n=\sum _{j=1}^{92}{y}_i$$

2、线性加权评价

模型第二问的第一小问是评价合理性。思路是构造一个公式，定量评价每个区的合理性。分别对各区数据代入公式计算，得到各区的得分。如果得分比较悬殊，就认为不是很合理。
原文中是这样构建的：设各个区和全市的服务平台覆盖率为$g$，做归一化处理后的数据为$gn$；各个区内服务平台工作强度的方差为$s$，方差的倒数$\frac{1}{s}$，做归一化处理后的数据为$vn$。综合评价指标为
其中，$\alpha$为权重系数，$\alpha \in [0,1]$。
这里归一化操作，使用的是最小最大法。

把最小值取为0，把最大值取为1，其它数据记为$x$，处理后记为$xn$。做如下操作：$$xn=\frac{x-min}{max-min}$$

3、权重公式

第二问的第二小问，讨论警力资源在全市六个区范围内的重分配。这里给出了一种考虑多因素确定权重的办法。
方法概括为以下几步：
（1）选择可以合理的指标
（2）一致化处理，通过求倒数等方法，把所有指标变成极大型指标
（3）无量纲化处理，求出每个指标的均值和均方差，统计量减去均值后，再除以均方差。
（4）求不同量纲的权重，先求得每个指标最大值和最小值的差，得到一个向量。在将这个向量归一化后得到权重向量。这篇文章中的操作过程如下：

4、最佳围堵方案

在这篇论文中，最佳围堵方案最终没有编程实现。这个部分以规划形式给出了描述（如下）。

下面探讨一下编程实现的可能性。首先，这个规划的可行域不是连续的，而是离散的，就是说，是有限的。可以参考用蒙特卡洛方法求解整数规划的思想，模拟计算若干次，取最优结果。而模拟过程可以吸取元胞自动机的想法，把时间离散化，把节点距离用离散化的时间表示。每次犯罪者随机选择路径（原文方案二）或者按一定的规则选择路径（原文方案一），动态推演围堵过程。

三、求解方法

这篇文章预先用弗洛伊德算法对点到点的最短距离做了计算。在求解0-1规划时，视问题规模，用了模拟退火算法求解和lingo编程求解。
详见《2011年国赛B题论文求解复现》和《模拟退火算法求解大规模0-1规划》。

参考资料

【1】2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目：B题 交巡警服务平台的设置与调度

【2】姚胜献，许锦敏，刘迪初 《交巡警服务平台的设置与调度》

相关资料

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