模式识别：模拟退火算法的设计与实现

本节的目的是记录以下学习和掌握模拟退火(Simulated Annealing，简称SA算法)过程。模拟退火算法是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内寻找命题的最优解。这里分别使用随机模拟退火算法和确定性模拟退火算法，在MATLAB平台上进行编程，以寻找一个6-单元全连接网络的能量最小化模型。

参考书籍：Richard O. Duda, Peter E. Hart, David G. Stork 著《模式分类》

一、技术论述

1.随机方法

学习在构造模式分类器中起着中心的作用。一个通常的做法是先假设一个单参数或多参数的模型，然后根据训练样本来估计各参数的取值。当模型相当简单并且低维时，可以采用解析的方法，如求函数导数，来显式求解方程以获得最优参数。如果模型相对复杂一些，则可以通过计算局部的导数而采用梯度下降算法来解，如人工神经网络或其他一些最大似然方法。而对于更复杂的模型，经常会出现许多局部极值，上述方法的效果往往不尽人意。

如果一个问题越复杂，或者先验知识和训练样本越少，我们对能够自动搜索可行解的复杂搜索算法的依赖性就越强，如基于参数搜索的随即方法。一个通常的做法是使搜索朝着预期最优解的区域前进，同时允许一定程度的随机扰动，以发现更好的解。

2.随机搜索

这里主要研究在多个候选解中搜索最优解的方法。假设给定多个变量si,i=1,2,…,N，其中每个变量的数值都取两个离散值之一（如-1和1）。优化问题是这样描述的：确定N个si的合适取值，时下述能量函数（又称为代价函数）最小：

其中w_ij是一个实对称矩阵，取值可正可负，其中令到自身的反馈权为零（即w_ii=0），这是因为非零w_ii只是在能量函数E上增加一个与si无关的常数，不影响问题的本质。这个优化问题可以用网络和节点的方式表示，如下图所示，其中节点之间的链接对应每个权值w_ij。

3.贪心算法的局限性

如上所述，对于求解有N个变量si的能量E最小化问题，除非N的取值很小，否则往往无法直接求解，因为其构型数目高达N^2。如果使用贪心算法搜索最优的构型，需要先随机选取每个节点的起始状态，然后顺序考查每个节点从而计算与之相联系的si=1状态和si=-1状态的能量，最后选取能够降低能量的状态迁移。这种判断只用到了直接与之相连的具有非零权值的相邻节点。

这种贪心搜索算法成功找到最优解的可能性很小，因为系统常常会陷入局部能量最小值，或根本就不收敛，因此需要选择其他搜索方法。

4.模拟退火

在热力学中，固体的退火过程主要由以下三部分组成：

1. 加温过程。其目的是增强粒子的热运动，使其偏离平衡位置。当温度足够高时，固体将熔解为液体，从而消除系统原先可能存在的非均匀态，使随后进行的冷却过程以某一平衡态为起点。熔解过程实际是系统的熵增过程，系统能量也随温度的升高而增大。
2. 等温过程。物理学的知识告诉我们，对于与周围环境交换热量而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态。
3. 冷却过程。其目的是使粒子的热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。

Metropolis等在1953年提出了重要性采样法，即以概率大小接受新状态。具体而言，在温度T时, 由当前状态i产生新状态j，两者的能量分别为Ei和Ej，若Ej小于Ei，则接受新状态j为当前状态；否则，计算概率p(∆E)：

若p(∆E)大于[0,1]区间内的随机数，则仍旧接受新状态j为当前状态；若不成立则保留i为当前状态，其中k为玻尔兹曼常数，T为系统温度。上述重要性采样过程通常称为Metropolis准则：

1. 在高温下可接受与当前状态能量差较大的新状态；
2. 而在低温下基本只接受与当前能量差较小的新状态；
3. 且当温度趋于零时，就不能接受比当前状态能量高的新状态。

1983年Kirkpatrick 等意识到组合优化与物理退火的相似性，并受到Metropolis 准则的启迪，提出了模拟退火算法。模拟退火算法是基于Monte Carlo 迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理退火过程与组合优化之间的相似性，模拟退火方法由某一较高初温开始，利用具有概率突跳特性的Metropolis抽样策略在解空间中进行随机搜索，伴随温度的不断下降，重复抽样过程，最终得到问题的全局最优。对比贪心算法，模拟退火算法主要的优势在于它使系统有可能从局部最小处跳出。

对于一个优化问题：

把优化问题的求解过程与统计热力学的热平衡问题进行类比，通过模拟高温物体退火过程的方法，试图找到优化问题的全局最优或近似全局最优解；

允许随着参数的调整，目标函数可以偶尔向能量增加的方向发展（对应于能量有时上升），以利于跳出局部极小的区域，随着假想温度的下降（对应于物体的退火），系统活动性降低，最终稳定在全局最小所在的区域。

5.两种模拟退火算法

两种模拟退火算法，即随机模拟退火和和确定性模拟退火算法的实现步骤如下所示：

随机模拟退火算法收敛很慢，部分原因在于其中搜索的全部的构型空间的离散本质，即构型空间是一个N维超立方体。每一次搜索轨迹都只能沿着超立方体的一条边，状态只能落在超立方体的顶点上，因此失去了完整的梯度信息。而梯度信息是可以用超立方体内部的连续状态值提供的。一种更快的方法就是以下的确定性模拟退火算法：

二、实验结果讨论

构造一个6-单元全连接网络，能量函数使用公式：

其中网络的连接权值矩阵如下：

设计步骤主要包括以下几个部分：
编写程序[E, s_out] = RandomSimulatedAnnealing(T_max, time_max, c, s, w)，实现以上算法1所述的随机模拟退火算法。这里需要设定以下参数： T_max=10，T(m+1) =c*T(m)，c=0.9，进行实验，能量随温度下降次数的变化曲线如图2所示（由于模拟退火算法所得到的结果有一定的随机性，因此以下步骤均执行四次算法进行观察），四次所得到的最终构型s如图3所示。

改变参数：初始温度：T_max=5，T(m+1) =c*T(m)，c=0.5，进行实验，能量随温度下降次数的变化曲线如图4所示，四次所得到的最终构型s如图5所示。

编写程序[E, s_out] = DeterministicAnnealing(T_max, time_max, c, s, w)，实现以上算法2所述的确定性模拟退火算法。这里需要设定以下参数： T_max=10，T(m+1) =c*T(m)，c=0.9，进行实验，能量随温度下降次数的变化曲线如图6所示，四次所得到的最终构型s如图7所示。

改变参数：初始温度：T_max=5，T(m+1) =c*T(m)，c=0.5，进行实验，能量随温度下降次数的变化曲线如图8所示，四次所得到的最终构型s如图9所示。

结论：图2、3给出了多次随机模拟退火算法的运行结果，可以看到构型s不一定完全一样；能量函数E的波形在经过若干次逐渐递减的震荡后基本收敛到全局最小值-19。当改变T(1)=5,c=0.5时，从图4中可观察到能量函数E的波形极速下降，并达到较小的值，中间少了一个温度渐变和震荡调整的过程。

图6、7给出多次确定性模拟退火算法的运行结果，且每次得到的最终构型s均一致；能量函数E的波形在经过平缓递减后收敛到全局最小值-19，不出现随机模拟退火中剧烈震荡的情况。当改变T(1)=5,c=0.5时，从图8中可观察到能量函数E的波形同样呈现出极速下降的态势，并达到较小的值，中间少了一个温度渐变和调整的过程。

综合以上的实验结果，我们发现随机退火和确定性退火均能给出相似的最终解，但对于一些大规模的现实问题，随机模拟退火的运行速度很慢，而相比之下确定性退火算法要快很多，有时可以快2~3个数量级。

另外，初温T(1)和温度下降系数c的选择对算法性能也有很大影响。初温的确定应折衷考虑优化质量和优化效率，常用方法包括以下几种：

• 均匀抽样一组状态，以各状态目标值的方差为初温；
• 随机产生一组状态，确定两两状态间的最大目标值差|∆max|，然后依据差值，利用一定的函数确定初温。譬如T(1)=-∆/ln
  p_r，其中p_r为初始接受概率；
• 利用经验公式给出。

模拟退火算法设计中包括三个重要的函数：状态产生函数、状态接受函数、温度更新函数；同时在程序设计时，需遵循内循环终止准则、外循环终止准则。这些环节的设计将决定模拟退火算法的优化性能。

三、实验结果

四、简单代码实现

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 随机模拟退火函数
% 输入参数：
%   T_max：初始温度
%   time_max：最大迭代次数
%   c：温度下降比率
%   s：初始构型
%   w：权值矩阵
% 输出参数：
%   E：能量变化矩阵
%   s_out：经过算法计算后的构型
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [E, s_out] = RandomSimulatedAnnealing(T_max, time_max, c, s, w)

[x, y] = size(s);

time = 1;        % 迭代次数
T(time) = T_max; % 初始温度设置

while (time < (time_max + 1)) % (T(time) > T_min) 
    for i = 1:1000
        num = ceil(rand(1) * y); % 选择产生一个1到y之间的随机数
        for j = 1:y
            e(j) = w(num, j) * s(num) * s(j);
        end
        Ea(time) = -1 / 2 * sum(e);
        Eb(time) = -Ea(time);
        if Eb(time) < Ea(time)
            s(num) = -s(num);
        elseif (exp(-(Eb(time) - Ea(time)) / T(time)) > rand())
            s(num) = -s(num);
        else
            s(num) = s(num);
        end
    end
    % 计算能量E
    E(time) = 0;
    for it = 1:6
        for jt = 1:6
            E(time) = E(time) + w(it, jt) * s(it) * s(jt);
        end
    end
    E(time) = E(time) * (-0.5);
    s_out(time,:) = s;  % 每次形成的构型
    time = time + 1;
    T(time) = T(time - 1) * c;
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 确定性模拟退火函数
% 输入参数：
%   T_max：初始温度
%   time_max：最大迭代次数
%   c：温度下降比率
%   s：初始构型
%   w：权值矩阵
% 中间函数：
%   tanh(l / T)：响应函数，该函数有一个隐含的重新规格化的作用
% 输出参数：
%   E：能量变化矩阵
%   s_out：经过算法计算后的构型
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [E, s_out] = DeterministicAnnealing(T_max, time_max, c, s, w)

[x, y] = size(s);

time = 1;        % 迭代次数
T(time) = T_max; % 初始温度设置

while (time < (time_max + 1))
    num = ceil(rand(1) * y); % 选择产生一个1到y之间的随机数
        for j = 1:y
            e(j) = w(num, j) * s(j);
        end
    l(time) = sum(e);
    s(num) = tanh(l(time) / T(time));
    % 计算能量E
    E(time) = 0;
    for it = 1:6
        for jt = 1:6
            E(time) = E(time) + w(it, jt) * s(it) * s(jt);
        end
    end
    E(time) = E(time) * (-0.5);
    s_out(time,:) = s; % 每次形成的构型
    time = time + 1;
    T(time) = T(time - 1) * c;
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%模拟退火算法实验
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear;
close all;

% 网络的连接权值矩阵
w = [ 0 5 -3 4 4 1;...
      5 0 -1 2 -3 1;...
     -3 -1 0 2 2 0;...
      4 2 2 0 3 -3;...
      4 -3 2 3 0 5;...
      1 1 0 -3 5 0];

num = 6; % 总共产生6个数 
s_in = rand(1,num); % 生成1和-1的随机序列 
s_in(s_in > 0.5) = 1; 
s_in(s_in < 0.5) = -1;
disp(['初始构型S为：',num2str(s_in)]);

% 以下是随机模拟退火算法
T_max = 10;        % 初始温度设置
time_max = 100;    % 最大迭代次数
c = 0.9;           % 温度变化比率
[E1, s_out1] = RandomSimulatedAnnealing(T_max, time_max, c, s_in, w);
subplot(221),plot(E1);grid on;
title(['T(1) = ',num2str(T_max),',c = ',num2str(c),',随机模拟退火算法能量变化曲线']);
disp(['T(1) = 10,c = 0.9,随机模拟退火算法最终构型S为：',num2str(s_out1(time_max,:))]);

T_max = 5;         % 初始温度设置
time_max = 100;    % 最大迭代次数
c = 0.5;           % 温度变化比率
[E2, s_out2] = RandomSimulatedAnnealing(T_max, time_max, c, s_in, w);
subplot(222),plot(E2);grid on;
title(['T(1) = ',num2str(T_max),',c = ',num2str(c),',随机模拟退火算法能量变化曲线']);
disp(['T(1) = 5,c = 0.5,随机模拟退火算法最终构型S为：',num2str(s_out2(time_max,:))]);

% 以下是确定性模拟退火算法
T_max = 10;        % 初始温度设置
time_max = 100;    % 最大迭代次数
c = 0.9;           % 温度变化比率
[E3, s_out3] = DeterministicAnnealing(T_max, time_max, c, s_in, w);
subplot(223),plot(E3);grid on;
title(['T(1) = ',num2str(T_max),',c = ',num2str(c),',确定性模拟退火算法能量变化曲线']);
disp(['T(1) = 10,c = 0.9,确定性模拟退火算法最终构型S为：',num2str(s_out3(time_max,:))]);

T_max = 5;         % 初始温度设置
time_max = 100;    % 最大迭代次数
c = 0.5;           % 温度变化比率
[E4, s_out4] = DeterministicAnnealing(T_max, time_max, c, s_in, w);
subplot(224),plot(E4);grid on;
title(['T(1) = ',num2str(T_max),',c = ',num2str(c),',确定性模拟退火算法能量变化曲线']);
disp(['T(1) = 5,c = 0.5,确定性模拟退火算法最终构型S为：',num2str(s_out4(time_max,:))]);

参考链接：http://www.cnblogs.com/growing/archive/2010/12/16/1908255.html