第十九讲 拉普拉斯变换引入

一，从傅里叶变换到拉普拉斯变换：

• 傅里叶变换：
• 拉普拉斯变换：，其中为衰减因子，
• 为什么要在傅里叶变换中乘上衰减因子？
• 因为当非周期函数随时间单调递增或单调递减，趋于无穷大（直男）时，无法使用傅里叶变换，如图： 
• 
• 因此给乘上衰减因子，使其在远处逐渐衰减下来（被掰弯），就可以用傅里叶变换了，如图（红色）：
• 
• 
• 令，s表示拉普拉斯算子
• 拉普拉斯变换标准形式：
• 收敛域，如图（红色阴影部分）：
• 
• 当时，的增长速度比不过的衰减速度，表示收敛（能被掰弯），就可以用拉普拉斯变换
• 当时，的增长速度超过的衰减速度，表示不收敛（不能被掰弯），无法用拉普拉斯变换

二，从幂级数到拉普拉斯变换：

• 幂级数：
• 计算机记法：，表示幂级数的系数
• 如果，那么为等比级数，，收敛区间
• 如果，那么
• 假设把离散的n变成连续的t，则幂级数变为，收敛区间
• 将更有利于微分和积分，
• 如果收敛区间（x不取负数是因为取负数会导致会出现虚数i），则
• 设，，换成，则：
• 
• 这就是拉普拉斯变换
• t通常代表时间，s通常代表频率

三，变换和算子的区别：

• 
• 
• 

四，线性性质：

• 
• 

五，指数位移定律：

• 如果，那么

1. 
2. ，前提：，（时变换不在收敛区间，因此无意义）

• 如果，那么

1. 
2. ，前提：

• 指数位移定律：如果在拉普拉斯变换的左边乘上指数，右侧将向右偏移a
• 如果，根据指数位移定律，前提：

六，计算当时的拉普拉斯变换：

• 根据欧拉公式：
• 根据线性性质：
• 根据指数位移定律：，；，
• ，前提：
• 因为和是共轭复数，所以等于一个实数
• 同理：，前提：

七，计算拉普拉斯逆变换：

• 已知
• 部分分式：

1. 
2. 两边乘以s：
3. 设，则
4. 两边乘以：
5. 设，则
6. 

• 根据拉普拉斯变换的公式表：
• 
• 
• 

八，计算当，时的拉普拉斯变换：

• ，
• 分部积分法：

1. 
2. 
3. ，这是运用n次洛必达法则的结果
4. 

•