MATLAB学习笔记——5.1 数据统计与分析
1、求矩阵的最大元素和最小元素
-
函数：
max()：求向量或矩阵的最大元素；
min()：求向量或矩阵的最小元素； -
当参数为向量时，上述函有两种调用格式：
（1）y=max(X)：返回向量 ： X的最大值存y，如果 X中包含复数元素，则按模取最大值。
（2）[y,k ]=max(X)：返回向量 X的最大值存入y，最大值元素的序号存入 k，如果 X中包含复数元素，则按模取最大值。 -
例5.1.1：
求向量x的最大元素，其中x=[-43,72,9,16,23,47]。
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x)
[y,k]=max(x)
命令行窗口：
>> x=[-43,72,9,16,23,47];
>> y=max(x)
y =
72
>> [y,k]=max(x)
y =
72
k =
2
-
当参数为矩阵时，函数有三种调用形式：
（1）max(A)：返回一个行向量，的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。
（2）[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A中每列的最大值，U向量记录每列最大值元素的行号。
（3）max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数的功能和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。 -
思考：对矩阵按行求最大元素，仅使用第一种格式能够做到吗？
-
想法：连续使用两次max()函数就能实现，第一次对矩阵A使用，返回每个列的最大值组成的向量，接着对这个数组使用该函数，最后返回矩阵的最大值。(max(max(A)))
-
例5.1.2：
求矩阵A的每行及每列的最大元素，并求整个矩阵的最大元素。
A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];
max(A)
max(A,[],2)
max(max(A))
命令行窗口：
>> A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];
>> max(A)
ans =
78 63 563
>> max(A,[],2)
ans =
78
63
563
1
>> max(max(A))
ans =
563
- 思考：用什么方法只调用一次max函数就能求得整个矩阵的最大值？
- 想法：先将A中所有元素堆叠成列向量，然后只需要使用一次max函数
max(A(:)
2、求矩阵的平均值 和中求矩阵的平均值 和中求矩阵的平均值 和中求矩阵的平均值
- 平均值：指算术，即每项数据之和除以。
- 中值：指在数据序列其的大小恰好处间元素。如果个为奇数，则取值为大小位于中间的元素；如果据个偶两素的平均值。
- 在MATLAB 中，求平均值和的函数分别为：
mean() ：求算术平均值。
median() ：求中值。 - 思考：有了平均值，为什么还要中值？
- 想法：中值与平均值未必相等。
- 例5.1.3：
某学生宿舍的5位同学月生活费如向量x所示，其中，小明同学家境一般，请问他应该按什么标准向父母主张生活费额度才较为合理。x=[1200,800,1500,1000,5000]
x=[1200,800,1500,1000,5000];
mean(x)
median(x)
运行结果：
>> x=[1200,800,1500,1000,5000];
>> mean(x)
ans =
1900
>> median(x)
ans =
1200
3、求和与求积
- sum():求和函数。
- prod():求积函数。
4、 累加和与累乘积
设U=(u1,u2,…,un)是一个向量，V、W是与U等长的另外两个向量，并且
则分别称V、W为U的累加和向量和累乘积向量。
在MATLAB中，求累加和与累乘积的函数分别为：
- cumsum():累加和函数。
- cumprod():累乘积函数。
- 例5.1.4
求向量X=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]的积与累乘积。
>> X=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
>> y1=prod(X)
y1=
3628800
>> y2=cumprod(X)
y2=
y2 =
1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800
5. 标准差与相关系数
- 标准差用于计算数据偏离平均数的距离的平均值，其计算公式为
- MATLAB中计算标准差的函数为std()，其调用格式为：
（1）std(X)：计算向量X的标准差。
（2）std(A)：计算矩阵A的各列的标准差。
（3）std(A,flag,dim)： flag取0或1，当flag=0时，按S1所列公式计算样本标准方差；当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准方差。在默认情况下，flag=0，dim=1。 - 例5.1.5
生成满足正态分布的50000*4随机矩阵，用不同的形式求其各列之间的标准差。
>> x=randn(50000,4);
>> y1=std(x,0,1)
y1 =
0.9955 0.9979 1.0046 0.9990
>> y2=std(x,1,1)
y2 =
0.9955 0.9979 1.0046 0.9990
>> x1=x';
>> y3=std(x1,0,2);
>> y3'
ans =
0.9955 0.9979 1.0046 0.9990
>> y4=std(x1,1,2);
>> y4'
ans =
0.9955 0.9979 1.0046 0.9990
- 相关系数能够反映两组数据序列之间相互关系，其计算公式为
- 在MATLAB中，计算相关系数的函数为corrcoef()，其调用格式为：
（1）corrcoef(A)：返回由矩阵A所形成的一个相关系数矩阵，其中，第i行第j列的元素表示原矩阵A中第i列和第j列的相关系数。
（2）corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一
样，用于求X、Y向量之间的相关系数。 - 例5.1.6
某新产品上市，在上市之前，公司物流部门把新产品分配到不同地区的10个仓库进行销售。产品上市一个月后，公司要对各种不同的分配方案进行评估，以便在下一次新产品上市时进行更准确的分配，避免由于分配不当而产生的积压和断货。下表（见课件）是相关数据，请判断那种分配方案最为合理。
>> A=[5032,6000,5100,5200;6532,6500,6600,5800;
5500,7000,5400,4800;4530,4000,4300,4200;
2300,2000,2200,2500;3254,3000,3500,3000;
8095,9000,7800,8500;7530,8000,7000,7500;
3841,3200,3500,3200;4500,5200,4800,4000];
>> corrcoef(A)
ans =
1.0000 0.9630 0.9906 0.9782
0.9630 1.0000 0.9694 0.9466
0.9906 0.9694 1.0000 0.9635
0.9782 0.9466 0.9635 1.0000
6、 排序
- 在MATLAB 中，排序函数为 sort() ，其调用格式为：
（1）sort(X) ：对向量 X按升序排列。
（2）[Y,I]=sort( A,dim,mode )，其中 dim 指明对 A的列还是行进排序。 mode 指明按升序还是降排，若取“ ascend” ，则按升序；若取“ descend” ， 则按降序， 默认为升。输出参数中Y是排序后的矩阵，而 I记录 Y中的元素 在A中位置。 - 例5.1.7
对下列矩阵（见课件）做各种排序。
>> A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];
>> sort(A)
ans =
1 -8 -13
4 7 5
13 12 6
>> sort(A,2,'descend')
ans =
5 1 -8
12 6 4
13 7 -13
>> [X,I]=sort(A)
X =
1 -8 -13
4 7 5
13 12 6
I =
1 1 3
2 3 1
3 2 2
7、联系与讨论
7.1 除NaN之外的其他数值元素求和
当向量元素的值暂时无法确定时，可以将其表示为NaN，求向量中除NaN之外的其他数值元素之和。例如A=[1:5, NaN, 10]，A中除NaN之外的其他元素之和是25。写出命令并上机验证。
- 提示：考虑使用isnan函数，该函数的功能演示如下：
>> A=[1:5, NaN, 10]
A =
1 2 3 4 5 NaN 10
>> isnan(A)
ans =
1×7 logical 数组
0 0 0 0 0 1 0
解决思路：
Step1 记录矩阵的size信息，并将矩阵化为列向量
Step2 通过innan函数找到零元素对应的位置的逻辑数组
Step3 将Nan数据替换为0（这样计算时就不影响结果了）
Step4 对向量求和，同时可以将向量恢复成原来的样子
具体代码的实现：
%% Step0 生成随机维数（0-9）的包含随机NaN的矩阵a
A=fix(10*rand(fix(1+10*(rand())),fix(1+10*(rand()))));
[m,n]=size(A);
a=A(:);
criterion=1;
while criterion
nannum=round(rand(m*n,1));
nanposi=find(nannum);
criterion=isempty(nanposi);
end
a(nanposi)=NaN;
a=reshape(a,m,n);
disp 'a='
disp (a)
%% Step1 记录矩阵的size信息，并将矩阵化为列向量
[m,n]=size(a);
a=a(:);
%% Step2 通过innan函数找到零元素对应的位置的逻辑数组
b=isnan(a);
%% Step3 将Nan数据替换为0（这样计算时就不影响结果了）
a(b)=0;
%% Step4 对向量求和，同时可以将向量恢复成原来的样子
ans1=sum(a);
a=reshape(a,m,n);
disp 'a''='
disp(a)
disp 'ans='
disp(ans1)
7.2 分析函数功能
若A为一个矩阵，试分析函数“max(A,[],2)”和“max(A,2)”各有什么功能？请上机验证。
实验代码：
A=magic(5);
ans1=max(A,[],2);
ans2=max(A,2);
disp 'A='
disp(A)
disp 'max(A,[],2)='
disp(ans1)
disp 'max(A,2)='
disp(ans2)
C=max(A,B)
returns an array the same size as A and B with the largest elements taken from A or B. The dimensions of A and B must match, or they may be scalar.
返回一个与A和B大小相同的数组，其中最大元素取自A或B.A和B的维度必须匹配，或者它们可以是标量。
- 对于max(A,[],2)我很清楚，表示寻找A的每行的最大值，并生成列向量，
- 对于max(A,2)，看一下运行结果，光看帮助文档还解决不了问题
一个运行结果：
A=
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
max(A,[],2)=
24
23
22
21
25
max(A,2)=
17 24 2 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
好像只有一点点地方不一样，进一步验证A与结果的差别
A==ans2
ans =
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
发现只有一个元素和原来不同，这个元素原来是1。
也就是说，
- C=max(A,B)：
- 当一个为标量时，对于A中的每一个元素，与B进行比较，取最大值；
- 当都为矩阵，且维度匹配时，对于每一个元素进行比较，取最大值；
验证：
a=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
b=[9 8 7 6 5 4 3 2 1];
c=max(a,b);
disp(c);
应该得到的结果为：
9 8 7 6 5 6 7 8 9
实际得到的结果为：
9 8 7 6 5 6 7 8 9
符合预期。
再验证一下b为标量的情况：
a=magic(5);
b=20;
c=max(a,b);
disp(a);
disp(c);
结果为：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
20 24 20 20 20
23 20 20 20 20
20 20 20 20 22
20 20 20 21 20
20 20 25 20 20
结果符合预期。
7.3 写出操作命令
利用MATLAB提供的randn函数生成符合正态分布的10×5随机矩阵A，进行如下操作：
（1）A各列元素的均值和标准方差。
（2）A的最大元素和最小元素。
（3）求A每行元素的和以及全部元素之和。
（4）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。
- 思路：
Step0 生成符合正态分布的10×5随机矩阵A
Step1 A各列元素的均值和标准方差
Step2 A的最大元素和最小元素。
Step3 求A每行元素的和以及全部元素之和。
Step4 分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。
代码的实现：
%% Step0 生成符合正态分布的10×5随机矩阵A
A=randn(10,5)
%% Step1 A各列元素的均值和标准方差
mean=mean(A(:))
standard_deviation=std(A(:))
%% Step2 A的最大元素和最小元素。
max=max(A(:))
min=min(A(:))
%% Step3 求A每行元素的和以及全部元素之和。
sum_for_rows=sum(A,2)
sum_for_all=sum(A(:))
%% Step4 分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。
sorted=sort(sort(A,1,'ascend'),2,'descend')
- 正态分布矩阵的生成：randn();