证明：当且仅当 AB=BA 时，可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量

当且仅当 AB=BA 时，可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量

也就是说， $AB=BA$ 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量的充分且必要条件。
先证 必要性：
假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量，那么 A 与 B 拥有相同的对角化矩阵 S （由特征向量构成）使得满足：$A=S{\Lambda }_1{S}^{-1}$ 以及 $B=S{\Lambda }_2{S}^{-1}$。其中的 $\Lambda$ 代表由特征值构成的对角阵。那么有：
$$\begin{array}{rl}AB& =S{\Lambda }_1{S}^{-1}S{\Lambda }_2{S}^{-1}=S{\Lambda }_1{\Lambda }_2{S}^{-1}\\ BA& =S{\Lambda }_2{S}^{-1}S{\Lambda }_1{S}^{-1}=S{\Lambda }_2{\Lambda }_1{S}^{-1}\end{array}$$
由于 ${\Lambda }_1{\Lambda }_2={\Lambda }_2{\Lambda }_1$ （对角阵作乘法时总是可以交换的），则有 $AB=BA$，必要性得证。

再证 充分性：
假设 $AB=BA$，$A$ 拥有一个特征值 $\lambda$ 和特征向量 $x$，即 $Ax=\lambda x$，那么：
$$ABx=BAx=B\lambda x=\lambda Bx$$
因此 $x$ 和 $Bx$ 均是矩阵 A 对于特征值 $\lambda$ 的特征向量（除非 $Bx$=0）。为了证明的简便性，我们假设矩阵 A 的特征值都是互不相同的，这时 A 的特征向量空间都是一维的（一条直线），那么 $Bx$ 必定是 $x$ 与某个常数的乘积的结果（$Bx=px$）。也就是说，$x$ 不仅是 A（对于特征值 $\lambda$） 的特征向量，也是 B （对于特征值 $p$）的特征向量，充分性得证。

对于拥有多重特征值的矩阵 A，要证明充分性则相对麻烦点，这里就暂时不讨论了。

参考源

• 《Linear Algebra and Its Applicaition》