拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：

正变换：$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\mathcal{L}[f(t)]$
逆变换：$F(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds={\mathcal{L}}^{-1}[f(s)]$
其中：s=$\sigma +j\omega$
常见信号的拉氏变换：
阶跃函数：$\epsilon (t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{1}{s}$ Re{s}>0
单边指数信号：$e^{-\alpha t}\epsilon (t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{1}{s+\alpha }$ Re{s}>$-\alpha$
单边正弦信号：$\sin \omega t\epsilon (t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$ Re{s}>0
单边余弦信号：$\cos \omega t\epsilon (t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$ Re{s}>0
单边衰减正弦：$e^{-\alpha t}\sin \omega t\epsilon (t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$ Re{s}>-$\alpha$

t的正幂信号：$t^n\epsilon (t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{n!}{s^{n+1}}$ Re{s}>0
$\mathcal{L}[\epsilon (t)]=\frac{1}{s}$
$\mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}$
$\mathcal{L}[t^n]={\int }_{0_{-}}^{\infty }{t}^n{e}^{-st}dt=\frac{n}{s}...\mathcal{L}[t^{n-1}]=...=\frac{n!}{s^{n+1}}$
冲激信号：$\delta (t)$$\leftarrow$$\to$$1$ Re{s}：（-$\infty$，+$\infty$）
$\delta (t-t_0)$$\leftarrow$$\to$$e^{-s{t}_0}$
$\delta \prime (t)$$\leftarrow$$\to$s

拉氏变换性质：
线性：$a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)$$\leftarrow$$\to$$a_1{F}_1(s)+a_2{F}_2(s)$
时域微分：$\frac{df(t)}{dt}$$\leftarrow$$\to$$sF(s)-f(0_{-})$
$\frac{d^{2}f(t)}{dt}$$\leftarrow$$\to$$s^{2}F(s)-sf(0_{-})-f\prime (0_{-})$
$\frac{d^{n}f(t)}{dt}$$\leftarrow$$\to$$s^{n}F(s)$-$s^{n-1}f(0_{-})$-…-$f^{(n-1)}(0_{-})$
时域积分：${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$$\leftarrow$$\to$$\frac{F(s)}{s}$+$\frac{f^{(-1)}(0_{-})}{s}$
有始函数：$\frac{df(t)\epsilon (t)}{dt}$$\leftarrow$$\to$$SF(s)$
${\int }_{0_{-}}^{t}f(\tau )d\tau$$\leftarrow$$\to$$\frac{F(s)}{s}$
$=>t\epsilon (t)={\int }_{0_{-}}^t\epsilon (\tau )d\tau$$\leftarrow$$\to$$\frac{1}{s^2}$
延时特性(时域平移)：$f(t-t_0)\epsilon (t-t_0)$$\leftarrow$$\to$$e^{-s{t}_0}F(s),t_0>0$
S域平移：$f(t)e^{-s{t}_0}$$\leftarrow$$\to$$F(s+s_0)$
尺度变换：$f(at)$$\leftarrow$$\to$$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}),(a>0)$
初值定理：$f(0^{+})={\lim }_{t\to 0_{+}}f(t)={\lim }_{s\to \infty }sF(s)（当F(s)是真分式时成立）$
终值定理：$f(\infty )={\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}sF(s)（F(s)极点在复频域左半平面）$
卷积定理：时域 $f_1(t)\ast f_2(t)$$\leftarrow$$\to$$F_1(s).F_2(s)$
卷积定理：频域 $f_1(t).f_2(t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{1}{2\pi j}{F}_1(s)\ast F_2(s)$
复频域微分： $-tf(t)$$\leftarrow$$\to$$\frac{d(F(s)}{ds}$
复频域微分： $\frac{f(t)}{t}$$\leftarrow$$\to$${\int }_s^{\infty }F(\eta )d\eta$

序列傅里叶变换（DTFT:discrete time Fourier transform）

正变换： $$
逆变换：
性质：序列位移：
性质：频域位移：
性质：线性加权： $DTFT[nx(n)]=j[\frac{d}{d\omega }X{e}^{(j\omega )}]$
性质：序列反褶：$DTFT[x(-n)]=X{e}^{(-j\omega )}$