理解逻辑斯蒂回归模型

逻辑斯蒂回归是一个非常经典的二项分类模型，也可以扩展为多项分类模型。其在应用于分类时的过程一般如下，对于给定的数据集，首先根据训练样本点学习到参数w,b;再对预测点分别计算两类的条件概率，将预测点判为概率值较大的一类。

1、线性模型
逻辑斯蒂回归属于对数线性模型，那什么是对数线性模型？首先我们介绍下线性模型。
给定包含d个属性的变量x=(x1,x2,...,xd),xi表示在第i个属性上的取值，线性模型通过学得一个对属性分量的线性组合来进行预测的函数，即：

f(x)=w1x1+w2x2+⋯+wdxd+b

写成向量形式为：

f(x)=wTx+b

线性模型形式简单，易于建模，很多不错的非线性模型都是以线性模型为基础，通过层次组合或高维映射形成。此外，向量w作为各分量的权值，可以很直观地解释各属性在模型分类中的重要性，例如：

f好瓜=0.2⋅x色泽+0.5⋅x根蒂+0.3⋅x敲声 +1

显然，根蒂对判断是否为好瓜的影响最大。
当我们给定样例点(x,y)， 若线性模型对给定样本点的预测值f(x)逼近真实值y时，就形成了线性回归模型，记为：

y=wTx+b

线性回归模型表征了输入x与输出y的一种线性关系，我们还可以定义输入x与输出y的函数g(y)的一种线性关系，如：

lny=wTx+b

就是一种对数线性回归，使x与输出的对数形成线性关系，实际上使用w^Tx+b的指数ewTx+b来逼近输出。
考虑一般性，我们记：

g(y)=wTx+b

其中，g(y)应满足单调可微的性质。我们将这样的模型称为“广义线性模型”，对数线性模型即g函数取对数函数的情况。
2、逻辑斯蒂回归模型
开始提到了逻辑斯蒂回归是一种对数线性模型，也就是说其输入与输出的对数函数成线性关系，实际上，它们满足如下关系：

logP(Y=1|x)P(Y=0|x)=wTx+b

关系如何得来的?
根据上面提到的广义线性模型，对预测值的对数函数，需要满足单调可微的性质，且方便进行二项分类，于是选取了S形曲线Sigmoid函数作为g−(⋅)函数，如下：

y=11+e−z

图形如下：

我们将输入的线性组合代替Sigmoid函数中的输入，得到逻辑斯蒂回归模型。
逻辑斯蒂回归模型是如下的条件概率分布：

P(Y=1|x)=11+e−(w⋅x+b)=e(w⋅x+b)1+e(w⋅x+b)

P(Y=0|x)=1−P(Y=1|X)=11+e(w⋅x+b)

显然，条件概率分布与曲线是一致的，即当输入越小时，取正例的概率趋近于0，取反例的概率趋近于1；当输入越大时，取正例的概率则趋近于1，取反例的概率趋近于0.
记：

y=P(Y=1|x)

1−y=P(Y=0|x)

则有：

y1−y=P(Y=1|x)P(Y=0|x)=ew⋅x+b

即：

logy1−y=w⋅x+b

从而得出关系。这里我们把logy1−y=w⋅x+b 称作对数几率，表示一个事件预测为正例与反例的比值的对数。

3、模型参数估计
我们得到逻辑斯蒂回归模型的表示，也即条件概率分布后，需要得到参数w,b的值才能对未知输入点进行预测。
对于逻辑斯蒂回归模型，一般使用极大似然估计的方法估计模型参数。转化为对数似然函数后，问题就变成了带有参数的求似然函数值最大值的最有问题。因为这是属于无约束优化问题，一般采用梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等方法来进行求解，得到参数估计值w^,b^ 后，代入条件概率分布公式：

P(Y=1|X)=e(w^⋅x+b^)1+e(w^⋅x+b^)

P(Y=0|X)=11+e(w^⋅x+b^)

即可实现对二项分类的预测。

4、多项逻辑斯蒂回归
二项逻辑斯蒂回归也可以推广到多项逻辑斯蒂回归，从而应用到多类分类问题中。
假设类别集合为{1,2,…,K}，多项逻辑斯蒂回归模型可以写作：

P(Y=k)=exp(wk⋅x)1+∑K−1k=1exp(wk⋅x)

P(Y=K|x)=11+∑K−1k=1exp(wk⋅x)

可以满足

∑Kk=1P(Y=k|x)=1