Wavelet(小波变换)

From paper 0013:
Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series

• phase angle statistics can be used to gain confidence in causal relationships
• wavelet transforms expand time series into time frequency space and can therefore find localized intermittent periodicities.

小波变换两种类型：
- Continuous Wavelet Transform (CWT)
- Discrete Wavelet Transform(DWT)
区别：
DWT是数据的压缩表示，对于噪声的减少和书压缩很有用；
CWT则是对特征提取很有用

此处只涉及CWT

(1) The Continuous Wavelet Transform (CWT)

首先说说小波(wavelet)
小波是什么呢？小波首先是一个函数，该函数的均值为零，且既在时域又在频域存在。我们可以通过一个小波所在的时间（ Δt ）和所在的频率（ Δω 或者带宽 bandwidth）来表征一个小波。

根据海森堡不确定原理（Heisenberg uncertainty principle），我们不能同时确定时间和频率。

当然有很多种小波的定义方式，
Morlet 小波是这样定义的：

ψ0(η)=π−1/4eiω0ηe−1/2η2

其中 ω0 是无量纲的频率， η 是无量纲的时间。
在处理特征提取的时候，Morlet wavelet（ ω0=6 ）是一个不错的选择，因为它权衡了时间和频率。所以接下来的套路都是基于这个Morlet wavelet的。

其实连续小波变换(CWT)的思想就是，将小波作为一个带通滤波器作用到时间序列上。小波通过变换它的尺度（scale）来在时间维度上拉伸（stretch）。
所以 η=s⋅t ，然后再标准化到单位能量上去。
对于Morlet wavelet（ ω0=6 ），傅里叶时段（ λwt ）几乎就等于scale为( λwt=1.03s )的时候。

一段有固定步长 δt 的时间序列（ xn,n=1,…,N ）的连续小波变换，定义为 xn 与scale和normalize之后的小波的卷积，如下

WXn(s)=δts−−√∑n′=1Nx′nψ0[(n′−n)δts]

在实际操作中，将这个卷积在傅里叶空间下计算或快一点。
小波功率定义为: |WXn(s)|2
而 WXn(s) 的复数部分，可以看作是 local phase（相位）

注意CWT有边缘效应，因为小波不是完全在时域上的，有个不太准确的时间点（不确定原理）。因此在这里引入一个概念叫 Cone of Influence (COI) ，在这个Cone里，边缘效应就不能被忽略。

小波功率的统计显著性可以同一个null hypotheses比较，这个null hypotheses为，信号是由一个给定背景功率谱( Pk )的平稳过程产生的。很多时间序列具有明显的红色噪声特性，这个特性可以用一个一阶自回归模型（AR1）来模拟。

一个lag-1的自相关为 α 的自回归模型（an AR1 process with lag-1 autocorrelation α ）的傅里叶功率为：

Pk=1−α2|1−αe−2iπk|2

其中 k 为傅里叶频率指数

小波变换可以看成是将一系列的带通滤波器应用到时间序列上，小波尺度（wavelet scale）与滤波器（ λwt ）的特征时段（characteristic period）线性相关。
所以，对于一个具有功率谱 Pk 的平稳过程，在给定小波尺度下的方差，通过调用傅立叶卷积定理可知，就是 Pk 在相应波段的方差。
如果 Pk 是足够光滑的，那么我们可以将该方差用给定尺度下 k−1=λwt 这样的转换来近似。
Torrence和Compo（1998）使用蒙特卡洛法表明这种近似对 AR1谱很适用。
他们还表明了，在给定功率谱（ Pk ）的过程中，小波功率的概率会大于P：

D(|WXn(s)|2σ2X<p)=12Pkχ2v(p)

其中 v is equal to 1 for real and 2 for complex wavelets.

(2) The cross wavelet transform

两个时间序列 xn 和 yn 的交叉小波变换定义为 WXY=WXWY∗ ，* 表示复共轭。
那么交叉小波变换的攻率为 |WXY| 。
复数参数 arg(WXY) 可以解释为 xn 和 yn 在频域的局部相对相位。

(3) Wavelet coherence

交叉小波变换能够找出具有相同的较高的功率的区域。小波相干性则是这种交叉变换在时频域的相关性。定义如下：

R2n(s)=|S(s−1WXYn(s))|2S(s−1|WXn(s)|2)⋅S(s−1|WYn(s)|2)

其中 S 是一个平滑算子（ smoothing operator）：

S(W)=Sscale(Stime(Wn(s)))

Sscale 表示沿小波尺度轴平滑， Stime 表示沿时间轴平滑