论文写作准备（三）—— 多目标优化问题与算法

一、多目标优化问题

多目标优化是在现实各个领域中都普遍存在的问题，每个目标不可能都同时达到最优，必须各有权重。但是，究竟要怎样分配这样的权重，这已经成为人们研究的热点问题。同时，根据生物进化论发展起来的遗传算法，也得到了人们的关注。将这两者结合起来，能够利用遗传算法的全局搜索能力，避免传统的多目标优化方法在寻优过程中陷入局部最优解，可以使解个体保持多样性。

二、多目标优化问题的数学描述

一般来讲，多目标优化问题是由多个目标函数与有关的一些等式以及不等式约束组成，式中，函数fi(x)称为目标函数；gi(x)和hi(x)称为约束函数；x={x1,x2,...,xn}是n维的设计变量。X={x∣x∈Rn,gi(x)≥0,hj(x)=0,i=1,2,...,p,j=1,2,...,q}称为可行域。

三、帕累托占优（Pareto Dominate）和帕累托最优解（Pareto Optimal）

如果在整个参数空间内不存在任何决策向量帕累托占优某个决策向量，则称该决策向量既是帕累托最优解。所有帕累托最优解组成了帕累托最优解集合（Pareto Optimal Set）。

四、绝对最优解、非劣解、帕累托前沿（Pareto Front）

• 非劣解——多目标优化问题并不存在一个最优解，所有可能的解都称为非劣解，也称为Pareto解。
• 绝对最优解——亦称帕雷托最优解。多目标规划的基本概念之一。它是使多目标规划问题中的每一目标函数都达到最优值的解。
• 帕累托前沿——帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

五、Pareto支配关系

六、有哪些实现多目标优化的方法？ 

• 求非劣解的生成法，即先求出大量的非劣解，构成非劣解的一个子集，然后按照决策者的意图找出最终解；（生成法主要有加权法﹑约束法﹑加权法和约束法结合的混合法以及多目标遗传算法）
• 交互法，不先求出很多的非劣解，而是通过分析者与决策者对话的方式，逐步求出最终解；
• 事先要求决策者提供目标之间的相对重要程度，算法以此为依据，将多目标问题转化为单目标问题进行求解。

七、多目标优化算法分类

• 传统优化算法包括加权法、约束法和线性规划法等，实质上就是将多目标函数转化为单目标函数，通过采用单目标优化的方法达到对多目标函数的求解。线性加权求和法——对多目标优化问题中的N个目标按其重要程度赋以适当的权系数，其乘积和作新的目标函数，再求最优解。
•  智能优化算法包括进化算法（Evolutionary Algorithm, 简称EA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）等。
• 区别：传统优化技术一般每次能得到Pareo解集中的一个，而用智能算法来求解，可以得到更多的Pareto解，这些解构成了一个最优解集，称为Pareto最优解（任一个目标函数值的提高都必须以牺牲其他目标函数值为代价的解集）。