The Polar Code, an Alternative Perspective

最近在学习Polar code,是华为主推的被钦定为5G控制信道的一种信道编码方式。大概也是唯一没有经历过充分商用验证就被3GPP认可的吧。据说领导打电话给国内各个厂家,提升到民族大义层面,要求必须支持。领导都支持,我们更要支持了,还要好好学习贯彻!


Polar code的构造很有意思,把信道复制N份后组合到一起,经过了规律的线性变换,最后产生了分裂split,出现了极化效果polarization:这复制的N份信道一部分容量趋于1,另一部分趋于0,所以叫做Polar码。简直是马太效应啊,穷人越来越穷,富人越来越富……


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提出polar码的土耳其人简直天才,居然想到这种构造方法!看polar时总感觉似曾相识,细细一想原来是状态信道channel with state的一种变形!polar推导时把信道复制N份成为vector信道,不就是构造compound channel么!吓得我赶紧翻了翻compound channel的模型


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只不过在polar code中,信道状态s其实就是vector信道里面的一部分。这样,信道状态s,在编码端是知道的。于是,很自然的联想到信息论中的一个经典问题:编码端已知信道状态的信道容量

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编码端已知信道状态的复合信道容量是有解的。很巧妙的构造了一个“physical device”:x(u,s),如下图。这样把求复合信道容量问题转换成一个求U和Y的普通离散无记忆信道容量问题了……答案是I(U;Y)。换句话说,编码端已知信道状态的话,相等于这个信道没有状态……

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这个“physical device”:x(u,s)有点巧妙了,再回头看看polar,同样的配方同样的味道,连符号都没有换!

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所以,polar code其实构造了一种编码端已知信道状态的复合信道!polar的vector channel就是compound channel。vector channel的一部分比特作为信道状态s存在的,在收端不需要解。

如果还是一头雾水,那我们重新来从最简单最基本的开始吧!一个最简单的二维的vector channel如下

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我们来分析一下这个信道的容量。对U_2,Y_2来说,就是一个普通的离散无记忆信道容量W。对U_1,Y_1呢?U_2可以看作是信道状态s,是在编码端已知的!前面已经说了,编码端已知信道状态的信道容量有解,而且等于信道状态不存在……所以,对U_1,Y_1来说,因为已知U_2,信道容量仍然是W。于是这个vector channel的信道容量就是2W!

同理,上面的基本元素可以无限次复合

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最后维度为N的vector channel的容量就是I(U^N,Y^N)=NW!这就给出了一种达到容量的编码方式(Proof of achievability)。


下面问题来了,怎么解码?根据vector channel容量表达式(U^N,Y^N),老司机一眼就知道链式法则要用到了……链式法则也给了polar code的构造方法,polar code里面的split过程,就是链式法则的展开过程!进一步,要是联想到MMSE-SIC接收机(在MIMO信道中MMSE-SIC接收机信息论无损的证明中就用到了链式法则,参考David Tse的书),很自然会想到解码也可以用串行干扰消除SIC……

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所以,Polar码本质上是构造了一种“发送端已知信道状态的情形”,data bits做数据发送,frozen bits就是状态。有趣的是,发送端已知信道状态时信道容量和没有状态一样,不管这个状态是因果的还是非因果的,离散的还是高斯的。当是高斯状态时,就是著名的Costa污纸预编码(costa dirty paper precoding)。熟悉的老司机知道,预编码多采用nested结构,polar码也是nested结构的……



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