The Polar Code, an Alternative Perspective

最近在学习Polar code，是华为主推的被钦定为5G控制信道的一种信道编码方式。大概也是唯一没有经历过充分商用验证就被3GPP认可的吧。据说领导打电话给国内各个厂家，提升到民族大义层面，要求必须支持。领导都支持，我们更要支持了，还要好好学习贯彻！

Polar code的构造很有意思，把信道复制N份后组合到一起，经过了规律的线性变换，最后产生了分裂split，出现了极化效果polarization：这复制的N份信道一部分容量趋于1，另一部分趋于0，所以叫做Polar码。简直是马太效应啊，穷人越来越穷，富人越来越富……

提出polar码的土耳其人简直天才，居然想到这种构造方法！看polar时总感觉似曾相识，细细一想原来是状态信道channel with state的一种变形！polar推导时把信道复制N份成为vector信道，不就是构造compound channel么！吓得我赶紧翻了翻compound channel的模型

只不过在polar code中，信道状态s其实就是vector信道里面的一部分。这样，信道状态s，在编码端是知道的。于是，很自然的联想到信息论中的一个经典问题：编码端已知信道状态的信道容量。

编码端已知信道状态的复合信道容量是有解的。很巧妙的构造了一个“physical device”：x(u,s)，如下图。这样把求复合信道容量问题转换成一个求U和Y的普通离散无记忆信道容量问题了……答案是I(U;Y)。换句话说，编码端已知信道状态的话，相等于这个信道没有状态……

这个“physical device”：x(u,s)有点巧妙了，再回头看看polar，同样的配方同样的味道，连符号都没有换！

所以，polar code其实构造了一种编码端已知信道状态的复合信道！polar的vector channel就是compound channel。vector channel的一部分比特作为信道状态s存在的，在收端不需要解。

如果还是一头雾水，那我们重新来从最简单最基本的开始吧！一个最简单的二维的vector channel如下

我们来分析一下这个信道的容量。对U_2,Y_2来说，就是一个普通的离散无记忆信道容量W。对U_1,Y_1呢？U_2可以看作是信道状态s，是在编码端已知的！前面已经说了，编码端已知信道状态的信道容量有解，而且等于信道状态不存在……所以，对U_1,Y_1来说，因为已知U_2，信道容量仍然是W。于是这个vector channel的信道容量就是2W！

同理，上面的基本元素可以无限次复合

最后维度为N的vector channel的容量就是I(U^N,Y^N)=NW！这就给出了一种达到容量的编码方式（Proof of achievability）。

下面问题来了，怎么解码？根据vector channel容量表达式(U^N,Y^N)，老司机一眼就知道链式法则要用到了……链式法则也给了polar code的构造方法，polar code里面的split过程，就是链式法则的展开过程！进一步，要是联想到MMSE-SIC接收机（在MIMO信道中MMSE-SIC接收机信息论无损的证明中就用到了链式法则，参考David Tse的书），很自然会想到解码也可以用串行干扰消除SIC……

所以，Polar码本质上是构造了一种“发送端已知信道状态的情形”，data bits做数据发送，frozen bits就是状态。有趣的是，发送端已知信道状态时信道容量和没有状态一样，不管这个状态是因果的还是非因果的，离散的还是高斯的。当是高斯状态时，就是著名的Costa污纸预编码（costa dirty paper precoding）。熟悉的老司机知道，预编码多采用nested结构，polar码也是nested结构的……