HDU6869 | 2020杭电多校(第九场)1003 Smile and Stone
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题意
江湖人称 “扩展威佐夫博弈”,反正我是第一次听说,也没有找到公式,所以在比赛的时候就没过,恨!
首先来看一下普通的威佐夫博弈(Wythoff’s game),游戏规则是:有两堆各若干个物品,两个人轮流从任意一堆中取出至少一个或者同时从两堆中取出同样多的物品,规定每次至少取一个,至多不限,最后取光者胜利。
在本题上这就是 k = 0的情况,那么k != 0的时候怎么推柿子呢?
再来回顾一下,威佐夫博弈必败态的公式是怎么来的,这其实来自贝蒂定理(Betty Theorem),具体是啥呢,看看这个吧。
欢迎回来~,好了现在你已经知道了,公式其实来自
1 a + 1 a + 1 = 1 \frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}=1 a1+a+11=1
解出这个方程就会得出
a = 1 + 5 2 a=\frac{1+\sqrt5}{2} a=21+5
那么对于威佐夫博弈必败态的公式即为
a n = n ∗ ⌊ 1 + 5 2 ⌋ b n = a n + n a_{n}=n*\lfloor\frac{1+\sqrt5}{2} \rfloor \quad b_{n}=a_{n} + n an=n∗⌊21+5⌋bn=an+n
上面是大佬们推导的公式,现在该我来优雅的找规律了;
我们都知道威佐夫博弈是本题 k = 0 k=0 k=0的特殊情况,我们将 k = 0 k=0 k=0代入上述公式,于是我们就得到了
1 a + 1 a + k + 1 = 1 \frac{1}{a}+\frac{1}{a+k+1}=1 a1+a+k+11=1
这时候相当于解这个方程(我们先将 k k k加一,显得比较优雅),然后再化简一下
a 2 + ( k − 2 ) ∗ a − k = 0 a^2+(k-2)*a-k=0 a2+(k−2)∗a−k=0
我们来解这个方程,很容易就知道
A = 1 , B = k − 2 , C = − k a = B 2 − 4 ∗ A ∗ C − B 2 ∗ A A=1,B=k-2,C=-k\\ a=\frac{\sqrt{B^2-4*A*C}-B}{2*A}\\ A=1,B=k−2,C=−ka=2∗AB2−4∗A∗C−B
好的,我们类似得到必败态的公式为
a n = n ∗ ⌊ B 2 − 4 ∗ A ∗ C − B 2 ∗ A ⌋ b n = a n + k ∗ n ( 注 意 这 里 的 k 是 题 目 中 的 k 加 一 之 后 的 值 ) a_{n}=n*\lfloor\frac{\sqrt{B^2-4*A*C}-B}{2*A}\rfloor\quad b_{n}=a_n+k*n\\(注意这里的k是题目中的k加一之后的值) an=n∗⌊2∗AB2−4∗A∗C−B⌋bn=an+k∗n(注意这里的k是题目中的k加一之后的值)
嗯优雅的找规律结束,打表验证一下是否符合;
打表对比结束,OK,Very 符合,接下来对于输入的a,b取较大值去二分它是在第几项,根据公式算出a,b较小值是否符合公式即可;
AC code(46ms 傲娇~)
/*******************************
* Coder : He Shuo. *
* Type : Original Work *
*******************************/
#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include