洛谷P1896 [SCOI2005]互不侵犯解题报告

互不侵犯

题目链接

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emmm

题干

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

输入样例

3 2

输出样例

16

数据范围

$1\le N\le 9,0\le K\le N^2$

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解法一、

知识点

1. 位运算
2. dp
   3.状压dp=（位运算+dp）

解法概括

首先我们考虑只有一列的情况

我们可以设$f(i,j,k)$

• $i$：第$i$行
• $j$：0/1，表示这一行是否有国王
• $k$：已经放置的国王数

那么显然我们的状态转移方程为
$$f[i][1][k]=f[i-1][0][k]$$
$$f[i][0][k]=f[i-1][1][k]$$
边界条件为$$f[1][1][1]=f[1][0][0]=1$$
最后统计$$ans=f[n][1][K]+f[n][0][K]=2(\to \_\to )$$

其次我们再考虑两列的情况

我们需要设$f(i,j_1,j_2,k)$

状态转移方程这里就不在累述，显而易见，我们的状态表示数组变成了四维的，推而广之

• 三列：$f(i,j_1,j_2,j_3,k)$
• 四列：$f(i,j_1,j_2,j_3,j_4,k)$
• n列：$f(i,j_1,j_2,j_3,\cdots ,j_n,k)$

有几列，需要n+2维的数组来维护。

然而最多可以有9列，所以，如果按照一般的做法，应该开一个十二维的数组来维护。也就是需要
$9\times 9^9\times 81=282429536481\ast 4字节\approx 1TB$的内存。

所以我们需要一个更加优秀的方法来维护。

通过观察，我们发现对于$f(i,j_1,j_2,j_3,\cdots ,j_n,k)$来说，$j_1,j_2,j_3,\cdots ,j_n$都是1或0，所以，我们可以很自然地想到二进制。

于是，正解就这么被想到了：用一个二进制数来表示$j_1,j_2,j_3,\cdots ,j_n$,于是，一个最多十二维的数组，被我们压缩成了一个三维的数组
$$f(i,j,k)$$

• $i$：第i行
• $j$：该行国王放置的状态
• $k$：前i行有k个国王

但是到这里我们去dp还是不方便，所以，我们需要先dfs预处理出所有的可能，然后再去dp

• $sit[]$：该状态下这一行国王的总数
• $gs[]$：这个状态（国王放置的状态）

void dfs(int tot,int sum,int tag)
{
	if(tag>=n)//找完了
	{
		sit[++cnt]=tot;
		gs[cnt]=sum;
		return ;//这里需要结束
	}
	dfs(tot,sum,tag+1);//因为这里不用第tag个，所以tag+1
	dfs(tot+(1<<tag),sum+1,tag+2);//这里要用第tag个，所以需要tag+2
}

那么我们的状态转移方程就是
$$f[i][j][s]+=f[i-1][k][s-gs[j]]$$

• $i$：第i行
• $j$：当前的状态
• $k$：上一行的状态
• $s$：枚举的国王数

最后统计
$$ans+=f[N][i][K]$$

代码实现

#include
#define ll long long

using namespace std;

ll f[10][2000][520];

inline ll read()
{
	ll f=1,k=0;
	char c=getchar();
	
	while(c>'9'||c<'0')
	{
		if(c=='-')f=-1;
		c=getchar();
	}
	
	while(c>='0'&&c<='9')k=(k<<1)+(k<<3)+(c^48),c=getchar();
	
	return f*k;
}

ll n,m,cnt;
ll sit[2333],gs[2333];

void dfs(int tot,int sum,int tag)
{
	if(tag>=n)
	{
		sit[++cnt]=tot;
		gs[cnt]=sum;
		return ;
	}
	dfs(tot,sum,tag+1);
	dfs(tot+(1<<tag),sum+1,tag+2);
}


int main()
{
	n=read();m=read();
	
	dfs(0,0,0);
	
	for(int i=1;i<=cnt;i++)f[1][i][gs[i]]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;i++)
	
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		
			for(int k=1;k<=cnt;k++)
			{
				if(sit[j]&sit[k])continue;
				
				if(sit[j]&(sit[k]<<1))continue;
				
				if((sit[j]<<1)&sit[k])continue;
				
				for(int s=m;s>=gs[j];s--)f[i][j][s]+=f[i-1][k][s-gs[j]];
			}
	
	ll ans=0;
	
	for(int i=1;i<=cnt;i++)ans+=f[n][i][m];
	
	printf("%lld",ans);
	
	return 0;
}

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												❀完结撒花❀
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