「小组联考」第二周二次考试
「小组联考」第二周二次考试
- T1 「XXOI 2019」等比数列三角形
- 题目
- 考场思考
- 正解
- T2 「SNOI2017」一个简单的询问
- 题目
- 考场思考
- 题解
- T3 「NOIP2016」愤怒的小鸟
- 题目
- 考场思考
- 题解
- 方法一 O ( N 2 2 N ) O(N^22^N) O(N22N)
- 方法二 O ( N 2 N ) O(N2^N) O(N2N)
不知道为什么，我们小组从上周开始，就全员飙车，一个比一个飘…
结果今天，我们终于考炸了…
看今天考的情况，可能我们组又末尾了吧…
不说了，看看这次考试的题吧。
T1 「XXOI 2019」等比数列三角形
题目
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考场思考
考试的时候以为这是一道比较简单的题。
然而… l j lj lj 大佬足足讲了 50 50 50 分钟。
不知道这道题的思路，直接上的 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2) 的暴搜。
#include正解
一道魔性数论题。
T2 「SNOI2017」一个简单的询问
题目
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考场思考
50 p t s 50pts 50pts：暴搜前 2 2 2 组，再拿 3 3 3 组特殊数据分。
80 p t s 80pts 80pts：纯莫队，无优化。
c o d e − 80 p t s code-80pts code−80pts
#include题解
首先，我们二次差分化简这个公式（我把 x x x 省略了）
∑ x = 0 ∞ g e t ( l 1 , r 1 ) × g e t ( l 2 , r 2 ) = ∑ x = 0 ∞ ( g e t ( 1 , r 1 ) − g e t ( 1 , l 1 − 1 ) ) × ( g e t ( 1 , r 2 ) − g e t ( 1 , l 2 − 1 ) ) = ∑ x = 0 ∞ g e t ( 1 , r 1 ) × g e t ( 1 , r 2 ) − g e t ( 1 , r 1 ) × g e t ( 1 , l 2 − 1 ) − g e t ( 1 , l 1 − 1 ) × g e t ( 1 , r 2 ) + g e t ( 1 , l 1 − 1 ) × g e t ( 1 , l 2 − 1 ) \begin{aligned} \sum _{x=0}^{\infty}get(l_1,r_1)\times get(l_2,r_2) =&\sum _{x=0}^{\infty}(get(1,r_1)-get(1,l_1-1))\times (get(1,r_2)-get(1,l_2-1)) \\ =&\sum _{x=0}^{\infty}get(1,r_1)\times get(1,r_2)-get(1,r_1)\times get(1,l_2-1)-get(1,l_1-1)\times get(1,r_2)+get(1,l_1-1)\times get(1,l_2-1) \end{aligned} x=0∑∞get(l1,r1)×get(l2,r2)==x=0∑∞(get(1,r1)−get(1,l1−1))×(get(1,r2)−get(1,l2−1))x=0∑∞get(1,r1)×get(1,r2)−get(1,r1)×get(1,l2−1)−get(1,l1−1)×get(1,r2)+get(1,l1−1)×get(1,l2−1)
然后，我们发现，一个询问由本来的两个函数变成四个了。
但是这样有个好处，所有的函数都成为 g e t ( 1 , t ) get(1,t) get(1,t) 的形式，而且，一个子问题被我们转化成了四个部分，分别是：
Q 1 = ∑ x = 0 ∞ g e t ( 1 , r 1 ) × g e t ( 1 , r 2 ) Q 2 = ∑ x = 0 ∞ g e t ( 1 , r 1 ) × g e t ( 1 , l 2 − 1 ) Q 3 = ∑ x = 0 ∞ g e t ( 1 , l 1 − 1 ) × g e t ( 1 , r 2 ) Q 4 = ∑ x = 0 ∞ g e t ( 1 , l 1 − 1 ) × g e t ( 1 , l 2 − 1 ) \begin{aligned} &Q_1=\sum _{x=0}^{\infty}get(1,r_1)\times get(1,r_2) \\ &Q_2=\sum _{x=0}^{\infty}get(1,r_1)\times get(1,l_2-1) \\ &Q_3=\sum _{x=0}^{\infty}get(1,l_1-1)\times get(1,r_2) \\ &Q_4=\sum _{x=0}^{\infty}get(1,l_1-1)\times get(1,l_2-1) \end{aligned} Q1=x=0∑∞get(1,r1)×get(1,r2)Q2=x=0∑∞get(1,r1)×get(1,l2−1)Q3=x=0∑∞get(1,l1−1)×get(1,r2)Q4=x=0∑∞get(1,l1−1)×get(1,l2−1)
最终，这个子问题的答案就是 a n s = Q 1 − Q 2 − Q 3 + Q 4 ans=Q_1-Q_2-Q_3+Q_4 ans=Q1−Q2−Q3+Q4
那么又有一个问题，我们怎么求 Q i Q_i Qi ？
知道的都会说：莫队算法
只不过这个莫队算法仅仅是一个思路，或者说借鉴了莫队的思想。
考虑对一个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 进行维护，搞清楚维护对象： Q i Q_i Qi 的值。
那这个 Q i Q_i Qi 的值怎么维护呢？这好像和莫队没啥关系吧？
是的，这是变形的地方。
我们先看，假如这是一道莫队的题，那么我们加减点就是 ++(--)cnt[point] 即可。
但是这道题我们如果想要 ++(--)cnt[point] 的话，有什么影响呢？
假如说我们维护 r r r ，那么当 ++(--)tr[point] 的时候，我们维护的 r e t = Q i ret=Q_i ret=Qi 的值的变化，就是另一个括号一整个的值了，所以我们的 r e t ret ret 应该对应的 +(-)tl[point]。
如果还不知道怎么办，看看代码总有好处…
#includeT3 「NOIP2016」愤怒的小鸟
童年的回忆变成考试的恐怖片
题目
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考场思考
考试的时候没码出来，这里就不挂代码了…
首先，我发现的是这个 N N N 很小，然后我直接摈弃了状压的想法，开始码暴力…
但是呢，不知道是不是我数学太差的原因，二函的解析式我始终算不对…
然后，抱着这道题是一道错题的自我欺骗的想法，没做过多的思考…
（还是贴一下烂尾的代码算了）
#include题解
两种方法都用到状压，其中方法二是方法一的优化，在此先把状压说一下：
定义状态 d p [ S ] dp[S] dp[S]：射死的猪的集合为 S S S （二进制）时的最小花费。
还需要一个辅助数组： l i n e [ i ] [ j ] line[i][j] line[i][j]：在 i i i 与 j j j 确定的这个二函上经过的点集（二进制）
至于这个二函的解析式怎么求，这一挂一个高级的矩阵解法（摘自 l u o g u luogu luogu 大佬 JustinRochester，原文）：
假设枚举到两个小猪，坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)和 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)，那么就对应地会有：
{ y 1 = a x 1 2 + b x 1 y 2 = a x 2 2 + b x 2 \begin{cases} y_1=a{x_1}^2+bx_1\\ \\y_2=a{x_2}^2+bx_2\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧y1=ax12+bx1y2=ax22+bx2
把它写成矩阵：
[ y 1 y 2 ] = [ x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 ] × [ a b ] \left[\begin{matrix}\ y_1\ \\ \\y_2\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\ {x_1}^2 &x_1\ \\ \\{x_2}^2 &x_2\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}\ a\ \\ \\b\end{matrix} \right] ⎣⎡ y1 y2⎦⎤=⎣⎡ x12x22x1 x2⎦⎤×⎣⎡ a b⎦⎤
很明显，可以得到：
[ a b ] = [ x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 ] − 1 × [ y 1 y 2 ] \left[\begin{matrix}\ a\ \\ \\b\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\ {x_1}^2 &x_1\ \\ \\{x_2}^2 &x_2\end{matrix}\right]^{-1}\times\left[\begin{matrix}\ y_1\ \\ \\y_2\end{matrix} \right] ⎣⎡ a b⎦⎤=⎣⎡ x12x22x1 x2⎦⎤−1×⎣⎡ y1 y2⎦⎤
又因为
∣ x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 ∣ = x 1 2 x 2 − x 1 x 2 2 = ( x 1 − x 2 ) x 1 x 2 \left|\begin{matrix}\ {x_1}^2 &x_1\\ \\{x_2}^2 &x_2\end{matrix}\right|={x_1}^2x_2-x_1{x_2}^2=(x_1-x_2)x_1x_2 ∣∣∣∣∣∣ x12x22x1x2∣∣∣∣∣∣=x12x2−x1x22=(x1−x2)x1x2
所以
[ x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 ] − 1 = 1 ( x 1 − x 2 ) x 1 x 2 [ x 2 − x 1 − x 2 2 x 1 2 ] \left[\begin{matrix}\ {x_1}^2 &x_1\ \\ \\ {x_2}^2 &x_2\end{matrix}\right]^{-1}=\frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}\left[\begin{matrix}\ x_2 &-x_1\ \\ \\-{x_2}^2 &{x_1}^2\end{matrix}\right] ⎣⎡ x12x22x1 x2⎦⎤−1=(x1−x2)x1x21⎣⎡ x2−x22−x1 x12⎦⎤
将它带回原等式，可得
{ a = 1 ( x 1 − x 2 ) x 1 x 2 × ( x 2 y 1 − x 1 y 2 ) b = 1 ( x 1 − x 2 ) x 1 x 2 × ( x 1 2 y 2 − x 2 2 y 1 ) \begin{cases}a={1\over(x_1-x_2)x_1x_2}\times(x_2y_1-x_1y_2)\\ \\b={1\over(x_1-x_2)x_1x_2}\times({x_1}^2y_2-{x_2}^2y_1)\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧a=(x1−x2)x1x21×(x2y1−x1y2)b=(x1−x2)x1x21×(x12y2−x22y1)
照着把这个求 a , b a,b a,b 的函数打出来就可以了…
方法一 O ( N 2 2 N ) O(N^22^N) O(N22N)
知道状态之后，状转很好写
- 初始化， d p [ 0 ] = 0 dp[0]=0 dp[0]=0
- 当有两个（或多个）点在同一个二函上时， d p [ S ∣ l i n e [ i ] [ j ] ] = d p [ S ] + 1 dp[S|line[i][j]]=dp[S]+1 dp[S∣line[i][j]]=dp[S]+1
- 当有一个点 i i i 只能单独射下时， d p [ S ∣ ( 1 < < i − 1 ) ] = d p [ S ] + 1 dp[S|(1<
然后，就过了…
（注意，在某些 O J OJ OJ 上可能过不了，这个方法还是有点悬的）
方法二 O ( N 2 N ) O(N2^N) O(N2N)
我们的 N 2 N^2 N2 从哪里来的呢？
是因为我们枚举的两个点，因此造成的 N 2 N^2 N2 的复杂度。
我们枚举两个点其实是没有必要的。
我们只需枚举在状态 S S S 时最小的点即可，因为这个点无论如何都是会被覆盖的，因此我们强制将其在此位置解决。
#include另外发个牢骚，这道题要 M M M 有什么用？