算法/题解-KMP

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luogu

题目描述：

给出两个字符串s1和s2，其中s2为s1的子串，求出s2在s1中所有出现的位置。然后输出next数组

题解：

这篇题解鸽了好久，因为我一直都没有完全理解看猫片，这东西是真的难。KMP的用处就是在母串里面找子串。
朴素做法是一位一位地匹配，判断子串和母串的字符是否相同，所以时间复杂度是O(mn)。（m、n是母串和字串的长度）
KMP就是通过一些神奇的操作跳过一些字符，以达到优化时间复杂度的效果。
具体的做法理解了其实并不复杂，一共就是3步。
1.找出子串内最长相同前后缀
举个例子：子串是AABAABAA
那么A和AA都是相同前后缀，但由于AA比较长，所以我们就选择它

很简单吧。。。
2.在后缀的最后设置一个指针，指向其最长相同前缀的最后
后缀的最后其实就是字符串的最后啦。。。
这个指针就是所谓的next数组

我们依次对子串的每一位进行这两步操作，第i位的指针就是next[i]

3.看代码。。。

int KMP(int len1,int len2){ //母串的长度为len1,子串的长度为len2
//s1时母串，s2是子串
    k=0;  //字串指针
    for(int i=0;i<len1;i++){    //和朴素算法一样，依次匹配母串的每一位
        while(k>0&&s1[i]!=s2[k]) k=next[k];   
        if(s1[i]==s2[k]) k++;   //如果匹配成功，匹配下一位
        if(k==len2) cout<<i-len2+2<<endl;  //如果全部匹配成功，输出答案
    }
 }

重点解释一下没加注释的那行代码，在朴素算法中如果匹配失败我们要把字串的指针归零（下面有朴素算法可以自行比较一下），但在KMP算法中我们直接把指针返回到next[i]记录的点，也就是我上面说的"相同前缀的最后“，因为既然这一段后缀和前缀是相同的，那么也就没有匹配再次匹配这一段的必要了，可以直接从相同部分的后一位开始匹配，这样就能达到节省时间的目的。
再举个例子：

A	B	C	B	C	B	C	A	A
					i
	B	C	B	C	A
			next[k]		k

这里母串是ABCBCBCAA,子串是BCBCA
匹配到第6位时k>0&&s1[i]!=s2[k]
朴素算法这时就会i++,k=1重新开始匹配
但是我们已经匹配了4位，就差一位了，这么好的成功机会，怎么能放过呢？
所以我们让k=next[k]=3,这样做是对的，因为字串的1、2位和3、4位是完全一样的，所以可以直接把第3位移到第5位的位置匹配

朴素：

A	B	C	B	C	B	C	A	A
		i
		B
		k

KMP:

A	B	C	B	C	B	C	A	A
					i
			B	C	B
					k

朴素算法：

bool solved; 
int solve(int len1,int len2){
	solved=0;
	for(int i=0;i<len1;i++){
		for(int k=1;k<=len2;k++){
			if(s1[i+k-1]!=s2[k]){
				break;
			}
			if(k==len2) solved++;
		}
		if(solved) return i;
	}
}

其实我也不知道这段写的对不对…

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那么，就只剩下最后一个问题了
怎么求next数组？

好问题。
可惜我也不会

每当发现失配时，就要往前跳，如果实在找不到，就跳到0，表示没有一个字符能够匹配。这时有字符匹配就将next设为当前位置+1,没有就是0

其实光看代码挺简单的，所以背下来就行了

void find_next(int len2){
	k=0;
	for(int i=1;i<len2;i++){
		while(k>0&&s2[i]!=s2[k]){
			k=next[k];
		}
		if(s2[i]==s2[k]){
			next[i+1]=++k;
		}
		else{
			next[i+1]=0;
		}
	}
}

首先解释一下前面可能没有说清楚，next表示的是字符串后缀的最后，也就是目前的长度i+1的指针，而不是i，同样它指向的点也是++k而不是k，因为只有相同前后缀的后面那个点才是我们真正想要的那个点。

这是字符串ABAABCABAAC的next值

s2	A	B	A	A	B	C	A	B	A	A	C
next	0	0	1	1	1	2	0	1	2	3	4

注意： 这里next表示的位置比实际位置大1，也就是说next[1]表示的数是0的next值，next[len2]表示的数是len2-1的next的值，因为输入时是0~len2-1,输出时却是1~len2

呼，终于写完了

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刚学完KMP时，我有一个问题：如果子串的所有字符都不相同，那么字符串每一项的next值就都是0了，那么此时用KMP不就和朴素还有什么区别?

答案是：没有区别

是的，如果所有字符都不同，KMP确实一点用都没有QwQ

所以，对于KMP，重复度越高的字符串，越能节省时间。如果重复度基本为0，还是乖乖打暴力吧！

完整代码：

#include 
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
char s1[maxn],s2[maxn];
int next[maxn];
int k=0;
void find_next(int len2){
	k=0;
	for(int i=1;i<len2;i++){
		while(k>0&&s2[i]!=s2[k]){
			k=next[k];
		}
		if(s2[i]==s2[k]){
			next[i+1]=++k;
		}
		else{
			next[i+1]=0;
		}
	}
}
int KMP(int len1,int len2){
	k=0;
	for(int i=0;i<len1;i++){
		while(k>0&&s1[i]!=s2[k]) k=next[k];
		if(s1[i]==s2[k]) k++;
		if(k==len2) cout<<i-len2+2<<endl;
	}
}
int main(){
	cin>>s1>>s2;
	int len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
	find_next(len2);
	KMP(len1,len2);
	for(int i=1;i<=len2;i++){
		cout<<next[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

写作时间：

2019-8-11