割点 桥 极大连通子图（双连通分支）

割点：  

        假如在删去定点V以及和v相关联的各边之后，将图的一个连通分量分割成两个或两个以上的连通分量，则称定点v为该图的一个割点（关节点）。

 

重连通图： 一个没有割点的图称为是重连通图。

       在重连通图上，任意一对顶点之间至少存在两条路径，则在删去某个顶点以及依附于该顶点的各边时也不破坏图的连通性。

       若在连通图上至少删去k个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。

 

双连通图

如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的，简称双连通或重连通。

如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的，简称双连通或重连通。

可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。

 

双连通分支：

在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。

 

[求割点与桥]

该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。根据定义，则有：

Low(u)=Min
{
DFS(u)
DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v) Low(v) (u,v)为树枝边(父子边)
}

一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
(1) 若生成树的根有2棵或2棵以上的子树，则此根必为割点。因为图中不存在连结不同子树中顶点的边，因此删去根顶点，生成树变成生成森林。

(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。

因为v不能到达搜索序比u更小的节点，所以，若删去u，则v所在的子树和u分离开来。

 

一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)

[求双连通分支]

下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。

对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。

对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

[构造双连通图]

一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。