割点 桥 极大连通子图(双连通分支)

割点:  

        假如在删去定点V以及和v相关联的各边之后,将图的一个连通分量分割成两个或两个以上的连通分量,则称定点v为该图的一个割点(关节点)。

 

重连通图: 一个没有割点的图称为是重连通图。

       在重连通图上,任意一对顶点之间至少存在两条路径,则在删去某个顶点以及依附于该顶点的各边时也不破坏图的连通性。

       若在连通图上至少删去k个顶点才能破坏图的连通性,则称此图的连通度为k。

 

双连通图

如果一个无向连通图的点连通度大于1,则称该图是点双连通的,简称双连通或重连通。

如果一个无向连通图的边连通度大于1,则称该图是边双连通的,简称双连通或重连通。

可以看出,点双连通与边双连通都可以简称为双连通,它们之间是有着某种联系的,下文中提到的双连通,均既可指点双连通,又可指边双连通。

 

双连通分支:

在图G的所有子图G’中,如果G’是双连通的,则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集,则G’为极大双连通子图双连通分支(biconnected component),或重连通分支,就是图的极大双连通子图。特殊的,点双连通分支又叫做

 

[求割点与桥]

该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索,定义DFS(u)为u在搜索树(以下简称为树)中被遍历到的次序号。定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点,即DFS序号最小的节点。根据定义,则有:

Low(u)=Min
{
DFS(u)
DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v) Low(v) (u,v)为树枝边(父子边)
}

一个顶点u是割点,当且仅当满足(1)或(2)
(1) 若生成树的根有2棵或2棵以上的子树,则此根必为割点。因为图中不存在连结不同子树中顶点的边,因此删去根顶点,生成树变成生成森林。

(2) u不为树根,且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边,即u为v在搜索树中的父亲),使得DFS(u)<=Low(v)。

因为v不能到达搜索序比u更小的节点,所以,若删去u,则v所在的子树和u分离开来。

 

一条无向边(u,v)是桥,当且仅当(u,v)为树枝边,且满足DFS(u)

[求双连通分支]

下面要分开讨论点双连通分支与边双连通分支的求法。

对于点双连通分支,实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈,存储当前双连通分支,在搜索图时,每找到一条树枝边或后向边(非横叉边),就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v),说明u是一个割点,同时把边从栈顶一个个取出,直到遇到了边(u,v),取出的这些边与其关联的点,组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支,其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。

对于边双连通分支,求法更为简单。只需在求出所有的桥以后,把桥边删除,原图变成了多个连通块,则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支,其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

[构造双连通图]

一个有桥的连通图,如何把它通过加边变成边双连通图?方法为首先求出所有的桥,然后删除这些桥边,剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点,再把桥边加回来,最后的这个图一定是一棵树,边连通度为1。

统计出树中度为1的节点的个数,即为叶节点的个数,记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边,就能使树达到边二连通,所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为,首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边,这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起,因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点,这样一对一对找完,恰好是(leaf+1)/2次,把所有点收缩到了一起。

 

 

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