备战BAT面试：查漏补缺——如何计算复杂度

备战BAT面试的学习记录，整理了最近自己查漏补缺的知识点，总结出来和大家分享，如有错误，欢迎指出！

备战BAT面试

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为什么需要复杂度分析？

因为可以脱离测试环境，硬件设备，数据规模等意外因素的干扰。

如何表示复杂度？

大O复杂度表示法：

int test(int n){
	int a = 0;
	int i= 1;
	for(; i<=n ; i++){
		a = a + i;
	}
	return a;
}

在上式中设每行代码执行时间为一个单位时间。那么第2、3行分别需要一个单位时间，所以需要2单位时间。而4、5行都运行了n遍，所以需要2n单位时间。总的需要（2n+2）*单位时间。
所以我们有一个公式：T(n)=O(f(n))
即所有代码执行时间与每行代码执行次数成正比。
例子中T(n)=O(2n+2)，这就是大O时间复杂度表示法，也叫时间复杂度。
在记录时间复杂度时，我们只需要取最大的量级就行，因此T(n)=O(2n+2)可以记作O(n)。

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下面通过几个例子来看：

O(1)

int test(){
	int a = 0;
	int i= 1;
	a = a + i;
	return a;
}

此时T(n)=O(3)，但是我们可以用O(1)表示。因为O(1)表示常量级。

int test(){
	int a = 0;
	int i= 1;
	for(; i<=100 ; i++){
		a = a + i;
	}
	return a;
}

此时T(n)=O(102)，也可以表示为O(1)。
所以说，只要没有随着n增长而时间变长的执行语句（最典型的就是没有n）那就是常量时间。

O(logn)

int test(int n){
	int a = 1;
	while(a<=n){
		a=a*2;
	}	
	return a;
}

可以看到退出条件为：当a乘了x个2之后等于n。也就是2^x=n，x=log₂n。时间复杂度为O(logn)。这里可以说一下，无论log以什么为底数，都可以统一为logn。因为log_an=log_ab x log_bn。即log_an=C x log_bn。log₂n、log₃n、log₁₀₀n之间只要成一个常数C就能转换，因此统一为logn。

O(m+n)

就是由两个变量决定

int test(int n,int m){
	int a = 0;
	int b = 0;
	int i= 1;
	int j= 1;
	for(; i<=n ; i++){
		a = a + i;
	}
	for(; j<=m ; j++){
		b = b + j;
	}
	return a+b;
}

此时为m和n共同决定，因此T(n)=O(m+n)。

O(n²)

int test(int n,int m){
	int a = 0;
	int i= 1;
	int j= 1;
	for(; i<=n ; i++){
		for(; j<=n ; j++){
			a = a + j;
		}
	}
	return a;
}

两个循环嵌套，里循环运行n²次，因此T(n)=O(n²)。
同理三个循环嵌套就是O(n³)。