gcd(NOIP模拟测试23)

题目大意：
　　有N个数，初始时均不选，每次选择一个数将其选取状态取反，每次操作询问已选集合中互质数对个数。

直接求不好求，我们考虑容斥。

两个数互质的定义是最大公约数为一。

设$f[n]$为集合中gcd为n的数对个数，$g[n]$为集合中gcd为n的倍数的数对个数。

则有式子：

　　$g[n]= \sum _{n|d} f[d]$

这与莫比乌斯反演公式一致：

　　$F[n]= \sum _{n|d} f[d] \Longleftrightarrow f[n]=\sum _{n|d} \mu (\frac{d}{n}) F[d]$

经过反演得到：

　　$f[n]=\sum _{n|d} \mu (\frac{d}{n}) g[d]$

代入$n=1$

　　$f[1]=\sum _d \mu (d) g[d]$

设$s[n]$为集合中是n的倍数的数的个数。

显然：

　　$g[n]=C_{s[n]}^2=\frac{s[n]*(s[n]-1)}{2}$

先筛出莫比乌斯函数，然后就可以通过维护是$s[n]$来维护$g[n]$，再维护$f[1]$。

每次添加一个数时，枚举它的因数，$O(1)$修改$s[n]$，$g[n]$和$f[1]$。

时间复杂度$O(N*\sqrt{max(X_i)})$
Code：

 1 #include
 2 #include
 3 #include
 4 #define LL long long
 5 #define re register
 6 using namespace std;
 7 const int M=500010;
 8 const int N=200010;
 9 int n,m,cnt=0,ma;
10 LL ans=0;
11 int a[N],b[N],v[M],p[M];
12 LL mu[M],g[M],s[M];
13 inline int read()
14 {
15     re int s=0;char c=getchar();
16     while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
17     while(c>='0'&&c<='9'){
18         s=(s<<3)+(s<<1)+c-'0';
19         c=getchar();
20     }
21     return s;
22 }
23 inline LL max(LL x,LL y)
24 {
25     return x>y?x:y;
26 }
27 void pre()
28 {
29     mu[1]=1;
30     for(re int i=2;i<=ma;++i){
31         if(v[i]==0){
32             p[++cnt]=i;
33             mu[i]=-1;
34         }
35         for(re int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=ma;++j){
36             v[i*p[j]]=1;
37             if(i%p[j]!=0) mu[i*p[j]]=-mu[i];
38             else{
39                 mu[i*p[j]]=0;
40                 break;
41             }
42         }
43     }
44 }
45 inline void add(re int x)
46 {
47     g[x]=g[x]+s[x];
48     ans=ans+mu[x]*s[x];
49     s[x]++;
50 }
51 inline void del(re int x)
52 {
53     g[x]=g[x]+1-s[x];
54     ans=ans+mu[x]*(1-s[x]);
55     s[x]--;
56 }
57 inline void work1(re int x)
58 {
59     for(re int i=1;i*i<=a[x];++i){
60         if(a[x]%i==0){
61             add(i);
62             if(i*i!=a[x])
63                 add(a[x]/i);
64         }
65     }
66 }
67 inline void work2(re int x)
68 {
69     for(re int i=1;i*i<=a[x];++i){
70         if(a[x]%i==0){
71             del(i);
72             if(i*i!=a[x])
73                 del(a[x]/i);
74         }
75     }
76 }
77 int main()
78 {
79     n=read();m=read();
80     for(re int i=1;i<=n;++i){
81         a[i]=read();
82         ma=max(ma,a[i]);
83     }
84     pre();
85     for(re int i=1;i<=m;++i){
86         re int x=read();
87         if(b[x]==0){
88             b[x]=1;work1(x);
89         }
90         else{
91             b[x]=0;work2(x);
92         }
93         printf("%lld\n",ans);
94     }
95     return 0;
96 }

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PS：此题需要卡常。

转载于:https://www.cnblogs.com/hz-Rockstar/p/11366404.html