JZOJ 3896 战争游戏——Tarjan割点

战争游戏

Description

Input

Output

Sample Input

7 9
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
2 3
4 5
6 7

Sample Output

18
6
6
6
6
6
6

Data Constraint

这题在一定程度上是挺水的，我拿它讲一讲tarjan求割点。

定义

引用百度百科

设G是一个图，v是G的一个顶点，如果G-v的连通分支数大于G的连通分支数，则称v是G的一个割点

简单的说，割点就是那种拿掉了，图就不连通了的点。

Tarjan

tarjan是很多算法的总称，都由tarjan发明，
主要有 求强连通分量，双联通分量的，求Lca的。
也可以求割点

引入概念

Tarjan中有两个很重要的数组——low , dfn
dfn是指递归时，节点的dfs序，而low数组，
则是该节点与其子树的节点通过返祖边可到达的节点的dfn的最小值。
（注：我的程序中，该节点到父亲的边也算作返祖边）

如图，点D与A之间有一条返祖边，所以节点D的low=1.

求割点

首先对于点x，它的所有子树节点，dfn一定比他大
所以，对于出现了
$df{n}_x\le lo{w}_{son}$

返祖边只能是在son的子树和x中指来指去。
无法到达x以上的点，即x是割点。
至于横叉边，是绝不可能出现的，因为在DFS中，所谓“横叉边”会当成树边走掉。

回到原题

至于原题，
满足$df{n}_x⩽lo{w}_{son}$的，显然
$S_x$是以x为根的子树的节点数
$an{s}_x={\sum }_{i\in son}^{df{n}_x⩽lo{w}_i}{S}_i\left(n-S_i-1\right)+n-1$
这是会有重复的，感性理解一下，不解释了
重复的部分是
$\frac{1}{2}\left[{\left({\sum }_{i\in son}^{df{n}_x⩽lo{w}_i}{S}_i\right)}^2-{\sum }_{i\in son}^{df{n}_x⩽lo{w}_i}{S}_i^2\right]$
所以
$an{s}_x={\sum }_{i\in son}^{df{n}_x⩽lo{w}_i}{S}_i\left(n-S_i-1\right)-\frac{1}{2}\left[{\left({\sum }_{i\in son}^{df{n}_x⩽lo{w}_i}{S}_i\right)}^2-{\sum }_{i\in son}^{df{n}_x⩽lo{w}_i}{S}_i^2\right]+n-1$
(注：我的代码中，dfm就是low)

#include
#include
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x
using namespace std;
int to[200010],next[200010],last[50010],con=0;
int dfn[50010],dfm[50010],sn[50010],dfnn=0;
int fa[50010],f[50010];
int stack[50010],top=0;
int ans[50010],n;
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=dfm[x]=++dfnn;
	stack[++top]=x;
	int a2=0,sa=0;
	sn[x]=1;int i;
	for(i=last[x];i>0;i=next[i])
	{
		if(dfn[to[i]]==0)
		{
			tarjan(to[i]);
			dfm[x]=min(dfm[x],dfm[to[i]]);
			sn[x]+=sn[to[i]];
			if(dfn[x]<=dfm[to[i]])
			{
				ans[x]+=(n-sn[to[i]]-1)*sn[to[i]];
				sa+=sn[to[i]]*sn[to[i]];
				a2+=sn[to[i]];
				if(dfm[stack[top]]==x)
				{
					do
					{
						top--;
					}while(stack[top]!=x);
				}
			}
		}
		else dfm[x]=min(dfm[x],dfn[to[i]]);
	}
	ans[x]-=(a2*a2-sa)/2;
}
int main()
{
	memset(sn,0,sizeof(sn));
	memset(last,0,sizeof(last));
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));
	memset(dfm,0,sizeof(dfm));
	int m,i,u,v;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		con++;to[con]=v;next[con]=last[u];last[u]=con;
		con++;to[con]=u;next[con]=last[v];last[v]=con;
	}
	tarjan(1);
	for(i=1;i<=n;i++) 
	for(i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]+n-1);
	return 0;
}