拓扑排序（详细分析）

什么是拓扑排序？

拓扑排序，对一个有向无环图$(DirectedAcyclicGraph简称DAG)$G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边$<u,v>\in E(G)$，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序$(TopologicalOrder)$的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

如何实现拓扑排序？

思想：
1、首先选择一个入度为0的点.。
2、从我们的AOV网（有向无环图）中，删除此顶点以及与此顶点相关联的边。
3、重复上述两个步骤，直到不存在入度为0的点为止。
4、如果选择的点数小于总的点数，那么，说明图中有环或有孤岛。否则，所有顶点的选择顺序就是我们的拓扑排序顺序。

具体实现过程：

上面主要是拓扑排序的大体思想，而实现还是分为两种：

拓扑

dfs

bfs

DFS代码实现

时间复杂度：$O(V+E)$ 空间复杂度：$O(V)$

bool dfs(int u) {
  c[u] = -1;
  for (int v = 0; v <= n; v++)
    if (G[u][v]) {
      if (c[v] < 0)
        return false;
      else if (!c[v])
        dfs(v);
    }
  c[u] = 1;
  topo.push_back(u);
  return true;
}
bool toposort() {
  topo.clear();
  memset(c, 0, sizeof(c));
  for (int u = 0; u <= n; u++)
    if (!c[u])
      if (!dfs(u)) return false;
  reverse(topo.begin(), topo.end());
  return true;
}

BFS代码实现

时间复杂度
假设这个图$G=(V,E)$在初始化入度为0的集合$S$的时候就需要遍历整个图，并检查每一条边，因而有$O(V+E)$的复杂度。然后对该集合进行操作，显然也是需要$O(V+E)$的时间复杂度。

因而总的时间复杂度就有$O(V+E)$

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int M=10005;
int n,m;
int a[M]; 
vector<int> G[M];
void topo_Sort(){
	priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;//按照字典序输出
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]==0) q.push(i);
	}
	vector<int> ans;
	while(!q.empty()){
		int id=q.top();
		q.pop();
		ans.push_back(id);
		for(int i=0;i<G[id].size();i++){
			int x=G[id][i];
			a[x]--;
			if(a[x]==0) q.push(x);
		}
	}
	if(ans.size()==n){
		for(int i=0;i<n;i++){
			printf("%d ",ans[i]);
		}
	}
	else printf("no solution");
}
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int s,t;
		scanf("%d %d",&s,&t);
		G[s].push_back(t);
		a[t]++;
	}
	topo_Sort();
	return 0;
}

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这两种方法对比来说，BFS的空间复杂度要比DFS要小，因为BFS用了STL，而STL不会浪费过多的空间。


ありがとうございます