神奇的Gamma函数

神奇的Gamma函数 (上)

rickjin

关键词：特殊函数, 欧拉

Gamma 函数诞生记

学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数

        

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质

 

于是很容易证明，   函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质

 

学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：

• 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
• 2.为何定义   函数的时候，不使得这个函数的定义满足   而是  

最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍 Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列   可以用通项公式     自然的表达，即便   为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线     通过所有的整数点     ，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列   ,我们可以计算   , 是否可以计算   呢？我们把最初的一些   的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了   函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

事实上首先解决   的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，

如果   都是正整数，如果   ，有

         

于是用这个无穷乘积的方式可以把   的定义延拓到实数集合。例如，取   ,   足够大，基于上式就可以近似计算出   。

欧拉也偶然的发现   可以用如下的一个无穷乘积表达

                         

用极限形式，这个式子整理后可以写为

        

左边可以整理为

                                   

所以 (*)、(**)式都成立。

欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当   的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到

                                          

然而右边正好和著名的 Wallis 公式关联。Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线             下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于   的如下结果，

                

于是，欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果

            

大数学家欧拉

欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。 拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。

欧拉看到      中居然有   , 对数学家而言，有   的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测   一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把   表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分                ，受 Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分

        

此处n 为正整数，   为正实数。利用分部积分方法，容易得到

    

重复使用上述迭代公式，最终可以得到

    

于是欧拉得到如下一个重要的式子

        

接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取   并且令   ,

然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：

      

欧拉成功的把   表达为了积分形式！如果我们做一个变换     ,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式

        

于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到 Gamma 函数的一般形式

             

Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何 Gamma 函数被定义为   , 这看起来挺别扭的。如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的     替换为    

        

这不就可以使得   了嘛。欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了   ，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了 Gamma 函数的定义，使得   。 而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分

        

这个函数现在称为Beta 函数。如果Gamma 函数的定义选取满足   , 那么有

    

非常漂亮的对称形式。可是如果选取   的定义，令

        

则有

    

这个形式显然不如   优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。

要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读

• Philip J. Davis, Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
• Jacques Dutka, The Early History of the Factorial Function
• Detlef Gronnau, Why is the gamma function so as it is?