Leetcode之动态规划(DP)专题-877. 石子游戏(Stone Game)
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行,每堆都有正整数颗石子 piles[i]
。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数,所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行,亚历克斯先开始。 每回合,玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平,当亚历克斯赢得比赛时返回 true
,当李赢得比赛时返回 false
。
示例:
输入:[5,3,4,5] 输出:true 解释: 亚历克斯先开始,只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。 假设他取了前 5 颗,这一行就变成了 [3,4,5] 。 如果李拿走前 3 颗,那么剩下的是 [4,5],亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。 如果李拿走后 5 颗,那么剩下的是 [3,4],亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。 这表明,取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动,所以我们返回 true 。
提示:
2 <= piles.length <= 500
piles.length
是偶数。1 <= piles[i] <= 500
sum(piles)
是奇数。
数学题,但我们用DP来求解这一题。
我们首先定义一个类,名为P:
private static class P {
int fir, sec;
P(int fir, int sec) {
this.fir = fir;
this.sec = sec;
}
}
P中有两个属性,fir代表先手获得的最高分数,sec代表后手获得的最高分数
那么我们就可以写出DP的含义
我们把dp定义为2维,如dp[i][j]代表从这堆石子的第i堆选到第j堆中获得的最高分数。
那么dp[i][j].fir 表示从第i堆到第j堆中先手获得的最高分。
dp[i][j].sec 表示从第i堆到第j堆中后手获得的最高分。
例如:piles = [5,3,4,5]
dp[0][1].fir = 5, 面对[5,3],先手可以得5分
dp[0][1].sec = 3,面对[5,3],后手可以得3分
我们首先明确一点,当 i == j 时,即只有一堆石子的时候,上面的例子,例如 i == j == 0 那么 dp[i][j].fir = 5 sec=0
所以我们把i==j时的所有情况,遍历一遍。
for (int i = 0; i < n; i++) { dp[i][i].fir = piles[i]; dp[i][i].sec = 0; }
下面看一张图,是最终dp数组的最后状态:
我们可以看到,dp[0][1] = (9,3) 即dp[0][1].fir = 9 sec=3
这个数值是由(0,0)和(1,1)一起生成的。
我们可以按层遍历,即:
第1层:对角线
第2层:(9,3) (9,1) (2,1)
第3层:(4,9) (10,2)
第4层:(11,4)
选择了按层遍历后,我们需要得到状态转移方程:
面对一堆石头,我们有如下情况可以选择:
1、我是先手
- 我选左边,面对剩下的piles[i+1,j]
- 我选右边,面对剩下的piles[i,j-1]
随后对方变成先手,我变成后手
dp[i][j].fir = max(piles[i]+dp[i+1][j].sec,piles[j]+dp[i][j-1].sec);
2、我是后手
- 先手选择了左边的那堆,我只能选择剩下的,dp[i][j].sec = dp[i+1][j].fir;
- 先手选择了右边的那堆,我只能选择剩下的,dp[i][j].sec = dp[i][j-1].fir;
随后对方变成后手,我变成了先手
class Solution { private static class P { int fir, sec; P(int fir, int sec) { this.fir = fir; this.sec = sec; } } public boolean stoneGame(int[] piles) { int n = piles.length; P[][] dp = new P[n + 1][n + 1]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i; j < n; j++) { dp[i][j] = new P(0, 0); } } for (int i = 0; i < n; i++) { dp[i][i].fir = piles[i]; dp[i][i].sec = 0; } for (int c = 2; c <= n; c++) { for (int i = 0; i <= n - c; i++) { int j = c + i - 1; int left = piles[i] + dp[i + 1][j].sec; int right = piles[j] + dp[i][j - 1].sec; if (left > right) { dp[i][j].fir = left; dp[i][j].sec = dp[i + 1][j].fir; } else { dp[i][j].fir = right; dp[i][j].sec = dp[i][j - 1].fir; } } } return dp[0][n - 1].fir > dp[0][n - 1].sec; } }
#本题思路来自题解区